Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre movimento retilíneo uniforme para calcular o deslocamento realizado pela moto ao ultrapassar totalmente o automóvel. Para isso, será utilizada a seguinte equação:

\(\Longrightarrow s(t)=s_0+vt\)

Sendo \(s(t)\) a posição final, \(s_0\) a posição inicial, \(v\) a veocidade e \(t\) o tempo.

Segundo a fórmula geral, as equações de posição para a moto e o automóvel são, respectivamente:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} s_m(t)=s_{0,m}+v_mt \\ s_a(t)=s_{0,a}+v_at \end{matrix} \right.\)

As posições consideradas nas equações são relativas às partes traseiras dos veículos. Portanto, o que é pedido pelo exercício diz respeito ao momento no qual a parte traseira da moto ultrapassa a parte dianteira do automóvel. Pelo enunciado, os comprimentos da moto e do automóvel são, respectivamente:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} l_m=2 \space \mathrm m \\ l_a=4 \space \mathrm m \end{matrix} \right.\)

Será considerado que, no instante \(t_0=0\), a parte dianteira da moto está imediatamente atrás da parte traseira do automóvel. Portanto, utilizando como referencial do sistema a parte traseira da moto, a posição inicial da moto é \(s_{0,m}=0 \space \mathrm m\). Portanto, o valor da posição inicial \(s_{0,a}\) do automovél é:

\(\Longrightarrow s_{0,a}=s_{0,m}+l_m\)

\(\Longrightarrow s_{0,a}=0+2\)

\(\Longrightarrow s_{0,a}=2 \space \mathrm m\)

Pelo enunciado, sabe-se que a velocidade da moto é o dobro da do automóvel, ou seja, \(v_m=2v_a\). Portanto, as equações de posição ficam da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} s_m(t)=s_{0,m}+\color{Red}{v_m}t \\ s_a(t)=s_{0,a}+v_at \end{matrix} \right.\)  \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} s_m(t)=0+\color{Red}{2v_a}t \space \space \space (I) \\ s_a(t)=2+v_at \space \space \space \space (II) \end{matrix} \right.\) 

Sendo \(t_1\) o instante no qual a parte traseira da moto está imediamente à frente da parte dianteira do automóvel, tem-se a seguinte relação:

\(\Longrightarrow s_{m}(t_1)=s_{a}(t_1)+l_a\)

\(\Longrightarrow s_{m}(t_1)=s_{a}(t_1)+4\)    \((III)\)

Substiuindo as equações \((I)\) e \((II)\) na equação \((III)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow s_{m}(t_1)=s_{a}(t_1)+4\)

\(\Longrightarrow (2v_at_1)=(2+v_at_1)+4\)

\(\Longrightarrow 2v_at_1-v_a t_1=2+4\)

\(\Longrightarrow v_a t_1=6\)

\(\Longrightarrow t_1={6 \over v_a}\)      \((IV)\)

Substituindo a equação \((IV)\) na equação \((II)\) para o instante \(t_1\)

\(\Longrightarrow s_m(t_1)=2v_at_1\)

\(\Longrightarrow s_m(t_1)=2v_a \Big({6\over v_a} \Big)\)

\(\Longrightarrow s_m(t_1)=12 \space \mathrm m\)

Finalmente, o deslocamento \(\Delta s_m\) realizado pela moto ao ultrapassar totalmente o automóvel é:

\(\Longrightarrow \Delta s_m=s_m(t_1)-s_{0,m}\)

\(\Longrightarrow \Delta s_m=12-0\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \Delta s_m=12 \space \mathrm m $}\)

Resposta: letra d).