Seja F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h

Vamos calcular o seguinte limite:

\(L = \lim\limits_{h\rightarrow 0}{F(t+h)-F(t)\over h}\)

sendo

\(F(t) = (cos\ t,sen\ t)\)

Substituindo a função no limite, temos:

\(L = \lim\limits_{h\rightarrow 0}{[cos\ (t+h),sen\ (t+h)]-[cos\ (t),sen\ (t)]\over h}\)

Expandindo o cosseno da soma e o cosseno da diferença pelas respectivas fórmulas, temos:

\(L = \lim\limits_{h\rightarrow 0}{[cos\ (t)cos\ (h)-sen\ (t)sen\ (h),sen\ (t)cos\ (h)+cos\ (t)sen\ (h)]-[cos\ (t),sen\ (t)]\over h}\)

Juntando tudo em apenas um vetor, temos:

\(L = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\left[cos\ (t){cos\ (h)-1\over h}-sen\ (t){sen\ (h)\over h},sen\ (t){cos\ (h)-1\over h}+cos\ (t){sen\ (h)\over h}\right]\)

Lembrando da identidade de cosseno do arco duplo, temos:

\(cos\ h=1-2sen^2{h\over2}\Rightarrow cos\ h-1=-2sen^2{h\over2}\)

Substituindo no limite, temos:

\(L = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\left[-cos\ (t){sen^2{h\over2}\over {h\over2}}-sen\ (t){sen\ (h)\over h},-sen\ (t){sen^2{h\over2}\over {h\over2}}+cos\ (t){sen\ (h)\over h}\right]\)

Multiplicando e dividindo o primeiro termo de cada componente por \(h/2\), temos:

\(L = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\left[-{h\over2}cos\ (t)\left({sen\ {h\over2}\over {h\over2}}\right)^2-sen\ (t){sen\ (h)\over h},-{h\over2}sen\ (t)\left({sen\ {h\over2}\over {h\over2}}\right)^2+cos\ (t){sen\ (h)\over h}\right]\)

Usando o limite fundamental, isto é:

\(\lim\limits_{\theta\rightarrow0}{sen\ \theta\over\theta}=1\)

temos:

\(L = \left[-{0\over2}cos\ (t)\cdot1^2-sen\ (t)\cdot1,-{0\over2}sen\ (t)\cdot1^2+cos\ (t)\cdot1\right]\)

Simplificando, temos:

\(\boxed{L = (-sen\ t,cos\ t)}\)