Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5

Para calcularmos o volume sob uma função, devemos integrá-la no domínio dado:

\(V=\int_0^5\int_y^{3y}f(x,y)\ dxdy\)

Substituindo a função dada, temos:

\(V=\int_0^5\int_y^{3y}5\ dxdy\)

Podemos tirar a constante para fora das integrais e integrar normalmente:

\(\begin{align} V&=\int_0^5\int_y^{3y}5\ dxdy\\ &=5\int_0^5\int_y^{3y}\ dxdy\\ &=5\int_0^5\left[x\right]_y^{3y}\ dy\\ &=5\int_0^5\left[3y-y\right]\ dy\\ &=5\int_0^52y\ dy\\ &=5\left[y^2\right]_0^5\\ &=5\cdot 5^2\\ \end{align}\)

Temos, portanto, que o volume sob a função \(f(x,y)=5\) no domínio dado vale:

\(\boxed{V=125}\)