A integral de linha ∫c (x+yz) dx+2xdy+xyz dz, em que c e a curva dada pelas equações: x=1-t², y=3t+1 e z=1com 0 ≤ t ≤ 1, vale:

1,00

A integral pode ser reescrita na forma de definição de integral de linha \(\int_a^b F(\gamma(t))\cdot \gamma ' (t) dt\) , onde \(F(x,y,z)=(x+yz,2x,xyz)\), \(\gamma (t) =(1-t^2,3t+1,1)\) e \(\gamma ' (t) =(-2t,3,0)\), e os limites de integração são \(a=0\) e \(b=1\)Temos que:

\(\int_a^b F(\gamma(t))\cdot \gamma ' (t) dt = \int_0^1 (1-t^2+3t+1,2-2t^2,(1-t^2)(3t+1))\cdot (-2t,3,0) dt\)

                               \( = \int_0^1 2t^3-12t^2-4t+6 dt \)

A ultima integral é calculada trivialmente pois trata-se de uma função polinomial sendo integrada.

Realizando a integração e substituindo os limite, obtemos

\(\int_0^1 2t^3-12t^2-4t+6 dt =0,5\)

Portanto, podemos concluir que a ultima alternativa é a correta.