Questão resolvida Determine a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos x, do arco curva dada por y=x³, no intervalo de x entre 0 e 2. - Área lateral de superfície de r

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo 
dos “x”, do arco curva dada por , no intervalo de x entre 0 e 2.y = x3
 
Resolução:
 
A fórmula que fornece a área de uma superficie de revolução gerada pelo giro do gráfico de 
uma função em torno do eixo x é;
 
S = 2𝜋 f x dx
b
a
∫ ( ) 1 + f' x[ ( )]2
Fazemos, então, a derivada da curva;
 
y = x y' = 3x3 → 2
 
O limite de integral vai de 0 até 2, substituindo na fórmula que fornece a área lateral de um 
sólido de revolução e resolvendo, fica;
 
S = 2𝜋 x dx S = 2𝜋 x dx
2
0
∫ 3 1 + 3x2 2 →
2
0
∫ 3 1 + 9x4
 
Vamos resolver a integral por substituição na forma indefinida;
 
u = 1 + 9x du = 9 ⋅ 4x dx du = 36x dx 36x dx = du x dx =4 → 3 → 3 → 3 → 3
du
36
 
Substituindo na integral na forma indefinida e resolvendo;
 
2𝜋 x dx = 2𝜋 x dx = 2𝜋 = du∫ 3 1 + 9x4 ∫ 1 + 9x4 3 ∫ udu
36
2𝜋
36
∫ u
 
= u du = = = = u = u
𝜋
18
∫
1
2
𝜋
18
u
+ 1
+1
1
2
1
2
𝜋
18
u
1 + 2
2
1 + 2
2
𝜋
18
u
3
2
3
2
𝜋
18
2
3
3
2
𝜋
27
3
2
 
Como : u = 1 + 9x 2𝜋 x dx = 1 + 9x4 → ∫ 3 1 + 9x4 𝜋
27
4
3
2
 
 
 
Voltando para a integral definida da área;
 
S = 2𝜋 x dx = 1 + 9x = 1 + 9 2 - 1 + 9 0
2
0
∫ 3 1 + 9x4 𝜋
27
4
3
2
2
0
𝜋
27
( )4
3
2 𝜋
27
( )4
3
2
 
= 1 + 9 ⋅ 16 - 1 = 1 + 144 - = 145 -
𝜋
27
( )
3
2
𝜋
27
( )
3
2
𝜋
27
( )
3
2
𝜋
27
𝜋
27
( )
3
2
𝜋
27
= ⋅ 1746, 03 - =
𝜋
27
𝜋
27
1745, 03𝜋
27
 
S = 64, 63𝜋 u. a.
 
 
(Resposta )