Vamos calcular a integral a seguir:

\(I=\int\int\limits_Dxy\ dA\)

Para começar vamos determinar as intersecções entre as duas curvas de forma a determinarmos os limites de integração:

\(y^2 = 2x + 6\\ x = y+1\)

Substituindo a seunda na primeira, temos:

\(y^2 = 2(y+1) + 6 = 2y+8\Rightarrow y^2-2y-8=0\Rightarrow y\in\{-2;4\}\)

Dado que é mais fácil integrar um polinômio que um radical, vamos usar y como a variável externa da integral. Além disso, precisamos detrminar qual curva assume valores menores nesse intervalo. Vamos por exemplo calcular o valor de x para cada uma delas em \(y=0\):

\(x = y+1 = 0 + 1 = 1\\ x = {y^2-6\over2}={0-6\over2}=-3\)

Logo, temos que, no intervalo de integração:

\({y^2-6\over2}<y+1\)

Vamos então à integral de fato:

\(I=\int_{-2}^4\int_{y^2-6\over2}^{y+1}xy\ dx\ dy\)

Integrando em relação a x, temos:

\(I=\int_{-2}^4\left[{x^2y\over2}\right]_{y^2-6\over2}^{y+1}\ dy=\int_{-2}^4{y\over2}\left[(y+1)^2-\left({y^2-6\over2}\right)^2\right]\ dy\)

Expandindo os binômios, temos

\(I=\int_{-2}^4{y\over2}\left[(y^2+2y+1)-\left({y^4-12y^2+36\over4}\right)\right]\ dy\)

Simplificando, temos:

\(I=\int_{-2}^4-{y^5\over8}+2y^3+y^2-4y\ dy\)

Integrando, temos:

\(I=\left[-{y^6\over48}+{y^4\over2}+{y^3\over3}-2y^2\right]_{-2}^4\)

Substituindo os limites, temos:

\(I=\left[-{4^6\over48}+{4^4\over2}+{4^3\over3}-2\cdot4^2\right]-\left[-{(-2)^6\over48}+{(-2)^4\over2}+{(-2)^3\over3}-2\cdot(-2)^2\right]\)

Calculando as potências, temos:

\(I=\left[-{2^{12}\over2^43}+{2^8\over2}+{2^6\over3}-2^5\right]-\left[-{2^6\over2^43}+{2^4\over2}-{2^3\over3}-2^3\right]=\left[-{2^8\over3}+2^7+{2^6\over3}-2^5\right]-\left[-{2^2\over3}+2^3-{2^3\over3}-2^3\right]\)

Simplificando os termos equivalentes, temos:

\(I=-{192\over3}+96+{12\over3}=-64+96+4\)

Temos, finalmente:

\(\boxed{I=36}\)