Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y^2 = 2x + 6. Nenhuma das resposta...

Para calcular a integral dupla da função f(x,y) = xy sobre a região D limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y^2 = 2x + 6, podemos utilizar o método da integração iterada. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para x e y. Para isso, igualamos as duas equações: x - 1 = y^2 - 6 Reorganizando a equação, temos: x = y^2 - y - 5 Agora, vamos encontrar os limites de integração para y. Para isso, igualamos as duas equações: x - 1 = y^2 - 6 Reorganizando a equação, temos: x = y^2 - y - 5 Agora, vamos encontrar os limites de integração para y. Para isso, igualamos as duas equações: y^2 - y - 5 = 2y + 6 Reorganizando a equação, temos: y^2 - 3y - 11 = 0 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos duas raízes: y = -2 e y = 5. Portanto, os limites de integração para y são -2 e 5. Agora, vamos encontrar os limites de integração para x. Substituindo os valores de y na equação x = y^2 - y - 5, temos: Para y = -2: x = (-2)^2 - (-2) - 5 = 4 + 2 - 5 = 1 Para y = 5: x = (5)^2 - (5) - 5 = 25 - 5 - 5 = 15 Agora, podemos calcular a integral dupla: ∬(D) xy dA = ∫(y=-2 to 5) ∫(x=1 to 15) xy dx dy Integrando em relação a x, temos: ∫(x=1 to 15) xy dx = [1/2 x^2 y] (x=1 to 15) = 1/2 (15^2 y - 1^2 y) = 1/2 (225y - y) = 112y Agora, integrando em relação a y, temos: ∫(y=-2 to 5) 112y dy = [1/2 y^2] (y=-2 to 5) = 1/2 (5^2 - (-2)^2) = 1/2 (25 - 4) = 1/2 (21) = 10.5 Portanto, a integral dupla da função f(x,y) = xy sobre a região D é igual a 10.5.