Se a parte morre durante o processo, o mesmo será extinto?

Quando uma das partes morre, o herdeiro necessário assume o lugar da parte. A procuração perdeu o valor em face da morte. A parte que assume o polo ativo(autor) ou passivo(réu) tem q constituir novo advogado. Pode até ser o mesmo, mas vai ter que fazer nova procuração. 
Dos Herdeiros Necessários 

Art. 1.845. São herdeiros necessários os descendentes, os ascendentes e o cônjuge. 
Vc não disse qual tipo de ação. Mas vamos supor q seja cobrança de aluguéis e a parte autora faleceu. Os filhos tem interesse e legitimidade em prosseguir na ação. O juiz sempre pergunta se a nova parte autora tem interesse no prosseguimento do feito. É facultativo. Eles também podem peticionar através do advogado q não tem interesse em dar prosseguimento ao feito. Isto é um exemplo de como funciona em processo civil. Em relação a parte ré acontece o mesmo procedimento.

Não! Somente quando finalizar todas as partes.

Enquanto isso ele é substituído por uma outra parte, de outro processo ou do mesmo processo, e fica no estado de suspenso, até outra parte ser colocada e processada na fila.

Depende.

Se for uma ação de caráter personalíssimo, como por exemplo interdição, e o interditando morre, ou alimentos e o alimentado morre, o processo é extinto.

Agora, se for uma ação na qual o espólio do morto possa "responder" (espólio entende-se por patrimônio que ainda não foi inventariado), essa ação vai continuar tramitando e o espólio respondendo até o limite do patrimônio, não é uma responsabilidade que caia diretamente sobre o patrimônio particular dos herdeiros.