Use a mudan¸ca de vari´aveis u = xy e v = y/x, e calcule a integral dupla ZZ D (x 2 + 2y 2 )

Amigo, não entendi a integral. Gostaria de mandar uma foto da mesma, para que possamos ajudar?

A fórmula para mudança de variáveis é :

\(\int\int f(x(u,v),y(u,v))J\)

onde J é o jacobiano dado por :

\(J^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial u}\end{pmatrix}\)

Assim

\(\begin{pmatrix}y&x\\ -\frac{y}{x^2}&\frac{1}{x}\end{pmatrix}=\frac{y}{x}+\frac{y}{x}=2\frac{y}{x}=2v\)

Assim

\(J^{-1}=\frac{1}{J}=\frac{1}{2v}\)

Uma vez que \(u = xy ;v = \frac{y}{x}\)

podemos isolar x=y/v e substituir na outra afim de encontrar y apenas:

\(u = xy\\ u=\frac{y}{v}.y\\ u=\frac{y^2}{v}\\ y^2=uv\)

da mesma forma:

\(u = xy \\ u=v.x.x\\ u=v.x^2\\ x^2=\frac{u}{v}\)

Assim

\(f(x,y)=x^2 + 2y^2 \\ f(x(u,v),y(u,v))=\frac{u}{v} + 2u.v\)

A integral fica

\(\int\int f(x(u,v),y(u,v))J\\ \int\int (\frac{u}{v} + 2u.v)\frac{1}{2v}dudv\)

Resolvendo essa integral:

primeiro em relação a u

\(\frac{1}{2v}\cdot \int \:\frac{u}{v}+2vudu\\ \)

\(\frac{1}{2v}\left(\int \frac{u}{v}du+\int \:2vudu\right)\\=\frac{u^2}{4v^2}+\frac{u^2}{2} \)

em relaçao a v:

\(\boxed{\int \left(\frac{u^2}{4v^2}+\frac{u^2}{2}\right)dv=\frac{u^2}{2}v-\frac{u^2}{4v}}\)