demostração de subespaço gerado

Para a cada par de vetor não vazio de E; para cada par de vetor v1 e v2 em S e para cada escalar α de <s> ocorre v1 + αv2 podemos dizer que o enuciado é verdadeiro

Para fazermos a demonstração entre os dois espaços vetoriais mostrados no enunciado, devemos realizar os seguintes procedimentos mostrados abaixo:

\(\begin{align} & S=\left\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},...,{{v}_{n}} \right\} \\ & u={{\alpha }_{1}}{{v}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{v}_{2}}...+{{\alpha }_{n}}{{v}_{n}} \\ & \omega ={{\beta }_{1}}{{v}_{1}}+{{\beta }_{2}}{{v}_{2}}...+{{\beta }_{n}}{{v}_{n}} \\ & u+\omega =\left( {{\alpha }_{1}}{{v}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{v}_{2}}...+{{\alpha }_{n}}{{v}_{n}} \right)+\left( {{\beta }_{1}}{{v}_{1}}+{{\beta }_{2}}{{v}_{2}}...+{{\beta }_{n}}{{v}_{n}} \right) \\ & u+\omega =\left( {{\alpha }_{1}}{{v}_{1}}+{{\beta }_{1}}{{v}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{v}_{2}}+{{\beta }_{2}}{{v}_{2}}...+{{\alpha }_{n}}{{v}_{n}}+{{\beta }_{n}}{{v}_{n}} \right) \\ & u+\omega =\left( {{\alpha }_{1}}+\beta ){{v}_{1}}+({{\beta }_{1}}+{{\alpha }_{2}}){{v}_{2}}+...+({{\alpha }_{n}}+{{\beta }_{n}}){{v}_{n}} \right) \\ & u+\omega \in S \\ & S\in V \\ \end{align}\ \)

Portanto, S contém o espaço V.