como resolver a seguinte EDO: x'*(t-x)=t+x

(t - 1)x² + tx + 1 = 0

delta
d² = t² - 4*(t - 1) 
d² = t² - 4t + 4 = (t - 2)²
d = t - 2

uma única raiz se d = 0
t - 2 = 0
t = 2

Nesse exercício vamos estudar o método da substituição de variáveis.

Reescrevendo a EDO, temos:

$$(t-x)\dfrac{dx}{dt}=t+x$$

$$\left(1-{x\over t}\right)\dfrac{dx}{dt}=\left(1+{x\over t}\right)$$

Fazendo $v={x\over t}$, temos:

$$\left(1-v\right)\left(t\dfrac{dv}{dt}+v\right)=\left(1+v\right)$$

$$t\dfrac{dv}{dt}+v=\dfrac{1+v}{1-v}$$

$$t\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1+v}{1-v}-v=\dfrac{1+v^2}{1-v}$$

Rearranjando e integrando:

$$\int\dfrac{1-v}{1+v^2}dv=\int\dfrac{dt}{t}$$

$$\int\dfrac{1}{1+v^2}dv-\int\dfrac{v}{1+v^2}dv=\int\dfrac{dt}{t}$$

Fazendo $u=1+v^2\Rightarrow du=2v\,dv$, temos:

$$\arctan v-\dfrac12\int\dfrac{du}{u}=\int\dfrac{dt}{t}$$

$$\arctan v-\dfrac12\ln{(1+v^2)}=\ln t+C$$

Voltando à variável original $x=tv$:

$$\boxed{\arctan \dfrac{x}{t}-\dfrac12\ln{\left(1+\dfrac{x^2}{t^2}\right)}=\ln t+C}$$

Nesse exercício vamos estudar o método da substituição de variáveis.

Reescrevendo a EDO, temos:

$$(t-x)\dfrac{dx}{dt}=t+x$$

$$\left(1-{x\over t}\right)\dfrac{dx}{dt}=\left(1+{x\over t}\right)$$

Fazendo $v={x\over t}$, temos:

$$\left(1-v\right)\left(t\dfrac{dv}{dt}+v\right)=\left(1+v\right)$$

$$t\dfrac{dv}{dt}+v=\dfrac{1+v}{1-v}$$

$$t\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1+v}{1-v}-v=\dfrac{1+v^2}{1-v}$$

Rearranjando e integrando:

$$\int\dfrac{1-v}{1+v^2}dv=\int\dfrac{dt}{t}$$

$$\int\dfrac{1}{1+v^2}dv-\int\dfrac{v}{1+v^2}dv=\int\dfrac{dt}{t}$$

Fazendo $u=1+v^2\Rightarrow du=2v\,dv$, temos:

$$\arctan v-\dfrac12\int\dfrac{du}{u}=\int\dfrac{dt}{t}$$

$$\arctan v-\dfrac12\ln{(1+v^2)}=\ln t+C$$

Voltando à variável original $x=tv$:

$$\boxed{\arctan \dfrac{x}{t}-\dfrac12\ln{\left(1+\dfrac{x^2}{t^2}\right)}=\ln t+C}$$