Considerando \(f(x,y,z)=\sqrt{x} y^3\frac{1}{z^2}\), e o domínio de integração é composto por um produto cartesiano de 3 intervalos, podemos escrever a integral tripla como um produto de 3 integrais simples.

\(I=\iiint f(x,y,z) dxdydz\)

\(I=\iiint \sqrt{x} y^3\frac{1}{z^2} dxdydz\)

\(I=(\int_1^4 \sqrt{x} dx) (\int_1^2 y^3 dy) (\int_1^2 \frac{1}{z} dz)\)

Isso só pode ser feito quando o limite de integração de cada uma das variáveis for um intervalo, e a função pode ser escrita como um produto de funções de variáveis independentes, ou seja \(f(x,y,z) =f_1(x)f_2(y)f_3(z)\).

Agora, basta resolver independentemente as três integrais definidas e multiplica-las:

\(I=(\frac{2}{3} \sqrt{x^3})_1^4 (\frac{y^4}{4})_1^2(\ln(z))_1^2\)

\(I=(\frac{14}{3})(\frac{15}{4})(\ln(2))\)

\(I=\frac{35}{2}\ln2\)