Questão de lançamento obliquo

Lessa explicou direitinho isso

Vamos inicialmente relacionar a posição horizontal da rampa com a altura da mesma. Lembre-se que ela é uma reta de coeficiente angular dado por sua inclinação, de forma que temos:

\(y_r = x_r\ tg\ \beta\)

Vamos escrever as equaçãoes horária da posição da pedra:

\(x = v_0t\ cos\ \theta\\ y = v_0t\ sen\ \theta-{1\over2}gt^2\)

substituindo as coordenadas gerais da superfície do plano, temos:

\(x_r = v_0t\ cos\ \theta\\ y_r = v_0t\ sen\ \theta-{1\over2}gt^2\)

Isolando o tempo na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

\(t = {x_r \over v_0\ cos\ \theta}\\ y_r = v_0{x_r \over v_0\ cos\ \theta}\ sen\ \theta-{1\over2}g\left({x_r \over v_0\ cos\ \theta}\right)^2 = x_r\ tg\ \theta-{gx_r^2 \over 2v_0^2\ cos^2\theta}= x_r\left( tg\ \theta-{gx_r \over 2v_0^2\ cos^2\theta}\right)\)

Substituindo a equação da superfície do plano, temos:

\({y_r\over x_r}=tg\ \theta-{gx_r \over 2v_0^2\ cos^2\theta}=tg\ \beta\)

Para a posição horizontal, temos:

\(x_r ={2v_0^2\ cos^2\theta(tg\ \theta-tg\ \beta)\over g}={2v_0^2\ sen\ \theta\ cos\ \theta-2v_0^2\ cos^2\theta\ tg\ \beta\over g}={v_0^2\over g}(\ sen\ 2\theta-2\ cos^2\theta\ tg\ \beta)\)

Como a posição vertical do plano é diretamente proporcional à posição horizontal, ao maximizarmos uma delas a segunda é automaticamente maximizada, vamos então derivar a equação com relação ao ângulo e igualar a zero:

\({dx_r\over d\theta} =0= {v_0^2\over g}(2\ cos\ 2\theta+4\ sen\ \theta\ cos\ \theta\ tg\ \beta)= {2v_0^2\over g\ cos\ \beta}(cos\ 2\theta\ cos\ \beta+sen\ 2\theta\ sen\ \beta)\)

Mas lembrando da trigonometria, essa é a expressÃo do cosseno da diferença:

\({2v_0^2\over g\ cos\ \beta}cos\ (2\theta-\beta)=0\)

Ficamos, então, com:

\(cos\ (2\theta-\beta)=0\Rightarrow 2\theta-\beta={\pi\over2}\Rightarrow \boxed{\theta = {\pi\over4}+{\beta\over2}}\)