Calcule a integral R x ln xdx?

Seja

\(\int \:xlnxdx\)

Vamos usar a substituição sabendo que a derivada de \(lnx\) é \(\frac{1}x\):

\(u=lnx\\ du=\frac{1}{x}dx\\ dx=\frac{du}{x}\)

Substituindo na integral:

\(\int \:xlnxdx\\ \int \:x\frac{du}{x}\\\\ \int du\\\)

Resolvendo essa integral:

\(\int du=u\)

Mas \(u=lnx\)

Então

\(\int du=u=lnx\)

Portanto:

\(\boxed{\int \:xlnxdx=lnx}\)