Sejam A=(2,1,3); B=(m,3,5); C=(0,4,1) vértices de um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A. a) calcule o valor de m. b) Determine o pé da a

a) Como se trata de um triangulo retângulo no vértice A, ou seja, A é o vértice do angulo de 90° de lados AB e AC, temos a seguinte relação: 

Relação das distancias entre os pontos A, B e C: d(BC)² = d(AB)² + d(AC)² (aplicação do teorema de Pitágoras no triangulo retângulo ABC).

1) d(BC)² = (m-0)² + (3-4)² + (5-1)² ∴ d(BC)² = m² + (-1)² + 4² ∴ d(BC)² = m² + 1 + 16 ∴ d(BC)² = m² + 17 

2) d(AB)² = (m-2)² + (3-1)² + (5-3)² ∴ d(AB)² = m² - 4m + 4 + 2² + 2² ∴ d(AB)² = m² - 4m + 4 + 4 + 4 ∴ d(AB)² = m² - 4m + 12

3) d(AC)² = (2-0)² + (1-4)² + (3-1)² ∴ d(AC)² = 2² + (-3)² + 2² ∴ d(AC)² = 4 + 9 + 4 ∴ d(AC)² = 17

Substituindo 1, 2 e 3 na relação que determinamos, temos:

m² + 17 = m² - 4m + 12 + 17 ∴ m² - m² + 4m = 12 + 17 - 17 ∴ 4m = 12 ∴ m = 12/4 ∴ m = 3

S = {3}

b) Primeiramente devemos encontrar as distancias de A para B, A para C e B para C. Basta somente substituirmos o valor de m, que encontramos no item anterior, nas equações das distancias d(BC)² = m² + 17 e d(AB)² = m² - 4m + 12 (no caso de d(AC)² = 17, não é necessário substituir o valor de m, pois a equação não apresenta essa incógnita):

d(BC)² = m² + 17 ∴ d(BC)² = 3² + 17 ∴ d(BC)² = 9 + 17 ∴ d(BC)² = 26 ∴ d(BC) = √26

d(AB)² = m² - 4m + 12 ∴ d(AB)² = 3² - 4 × 3 + 12 ∴ d(AB)² = 9 - 12 + 12 ∴ d(AB)² = 9 ∴ d(AB) = √9 ∴ d(AB) = 3

d(AC)² = 17 ∴ d(AC) = √17

A partir de agora não vamos considerar a notação d(AB), d(AC) e d(BC). Iremos usar respectivamente a notação AB, AC e BC para representar essas distancias, como os segmentos que formam o triangulo retângulo ABC ou qualquer outro segmento.

Chamemos de pé da altura relativa ao vértice A o ponto D (x, y, z). D é o ponto de interseção do segmento AD com o segmento BC. Para encontrarmos as coordenadas do ponto D, podemos usar a relação da razão do segmento CD com o segmento DB. Antes, porém, precisamos encontrar o comprimento desses dois segmentos, para isso iremos aplicar as relações métricas de um triangulo retângulo.

AB² = BC × BD ∴ 3² = √26 × BD ∴ BD = 9/√26

AC² = BC × CD ∴ (√17)² = √26 × CD ∴ CD = 17/√26

Agora vamos encontrar a razão (λ) entre CD e DB:

λ = CD/DB ∴ λ = 17/√26/9/√26 ∴ λ = 17/9

Basta, agora, substituirmos os valores que possuímos, nas formulas das coordenadas do ponto D em função da razão que encontramos. Assim:

OBS: Notação das coordenadas de cada ponto

C(x1, y1, z1) = C(0, 4, 1)

B(x2, y2, z2) = B(3, 3, 5)

D(x, y, z)

Abscissa do ponto D: x = (x1 + λx2)/(1 + λ) ∴ x = (0 + 17/9 × 3)/(1 + 17/9) ∴ x = 51/26

Ordenada do ponto D: y = (y1 + λy2)/(1 + λ) ∴ y = (4 + 17/9 × 3)/(1 + 17/9) ∴ y = 87/26

Lado ou Cota do ponto D: z = (z1 + λz2)/(1 + λ) ∴ z = (1 + 17/9 × 5)/(1 + 17/9) ∴ z = 94/26

Solução: D(51/26, 87/26, 94/26)

Espero que tenha ajudado. Acredito que a resposta esteja certa, fiz e refiz alguns cálculos. Peço que recomendem minha resposta, para me ajudar no aumento do nível.

Muito boa sua resposta!Achei esse exercício difícil...

BC = C-B, não é m-0, seria 0-m... n?