CINEMATICA...ME AJUDEM??

velocidade é igual a dv=dr/dt então na questão a basta integrar cada função no intervalo de [0,2], mas não esquece de usar essas funções em modulo, na letra b usa-se o mesmo raciocinio só que agora de posse das velocidades medias vc terá que encontrar o intervalo de [0,resposta] e na letra c a mesma coisa somente igualando as duas integrais dr(1)/dt=dr(2)/dt.

vc nao quer dizer derivar ao invés de integrar?

Lara, bom dia!

Para encontrar a função velocidade de ambas partículas realmente precisamos derivar o espaço em função do tempo.

r1(t)=2ti-4t²j

r2(t)=6ti+5j

Derivando ambos em função de t, teremos:

v1(t)=2i-8tj

v2(t)=6i

Para encontrar a velocidade média no intervalo de 0 a 2, entretanto, não usamos a função velocidade, que entrega a velocidade em cada ponto. Usamos a definição de velocidade média que é:

vm=Δr/Δt

Para cada partícula precisamos do r(2) e r(0):

Para a partícula 1:

r1(0) = (2*0)i-(4*0²)j

r1(0) = 0

r1(2) = (2*2)i-(4*2²)j

r1(2) = 4i-16j

vm=Δr/Δt=(4i-16j - 0)/(2-1) = 4i-16j

||vm|| = √(4²+16²) = √(16+256) = √272 = 4√17 ≈ 16,49 unidades de velocidade

Para a partícula 2:

r2(0) = (6*0)i+5j

r2(0) = 5j

r2(2) = (6*2)i+5j

r2(2) = 12i+5j

vm=Δr/Δt=(12i+5j-5j)/(2-1) = 12i

||vm|| = √(12²+0²) = √(144+0) = √144 = 12 unidades de velocidade

b) O tempo que se chocam (se houver) seria o tempo em que r1(t) = r2(t)

Igualando:

2ti-4t²j=6ti+5j

2t=6t

-4t² = 5 (impossível um tempo ao quadrado que multiplicado por um número negativo dê um valor positivo)

Portanto, não há um tempo em que as partículas se encontrarão

c) Como já calculamos as velocidades instantâneas v1 e v2, vamos verificar se há um instante em que as velocidades são iguais para ambas as partículas

v1(t)=2i-8tj

v2(t)=6i

Igualando v1(t)=v2(t)

2i-8tj = 6i

Vetorialmente não há um instante em que ambas velocidades se tornam iguais. Mas vamos investigar se há este mesmo instante para igualar as velocidades escarlarmente:

v1(t)=2i-8tj

||v1(t)|| = √(2²+(8t)²) = √(4+64t²)

v2(t)=6i

||v2(t)|| = √(6²+0²) = √36 = 6

Igualando ||v1(t)|| com ||v2(t)|| teremos:

√(4+64t²) = 6

4+64t² = 36

64t² = 36 - 4

64t² = 32

t² = 32/64

t² = 1/2

t=√2/2≈0,71s

Espero ter ajudado!