Cinemática vetorial - livro I Alaor

São dados no exercício a posição e velocidade iniciais:

\(\vec{r}(0)=(3,0,5)\ m\\ \vec{v}(0)=(0,7,0)\ m/s\)

É dada também a função horária da aceleração:

\(\vec{a}(t)=(0,-10,3t)\ m/s^2\)

a) Para determinarmos a posição em função do tempo, inicialmente integramos a aceleração para obter a velocidade:

\(\vec{v}(t)=\int \vec{a}(t)dt=\int (0,-10,3t)dx = \vec{v}_0+\left(0,-10t,{3\over2}t^2\right)\)

Temos a velocidade inicial:

\(\vec{v}(0)=(0,7,0)\ m/s\Rightarrow \vec{v}_0=(0,7,0)\ m/s\Rightarrow \vec{v}(t)=\left(0,7-10t,{3\over2}t^2\right)\ m/s\)

Integrando novamente temos a posição:

\(\vec{r}(t)=\int \vec{v}(t)dt=\int \left(0,7-10t,{3\over2}t^2\right)dx = \vec{r}_0+\left(0,7t-5t^2,{1\over2}t^3\right)\)

Temos a posição inicial:

\(\vec{r}(0)=(3,0,5)\ m\Rightarrow \vec{r}_0=(3,0,5)\ m\Rightarrow \boxed{\vec{r}(t)=\left(3,7t-5t^2,5+{1\over2}t^3\right)\ m/s}\)

b) Para determinarmos a velocidade no instante pedido, basta-nos substituir tal instante de tempo na expressão já obtida:

\(\vec{v}(t)=\left(0,7-10t,{3\over2}t^2\right)\ m/s\Rightarrow\boxed{\vec{v}(3)=\left(0,-23,{27\over2}\right)\ m/s}\)