Como obter soluções não triviais em sistemas não lineares de equações homegêneo??

https://www.passeidireto.com/arquivo/1002080/algebra_linear_-_alfredo_steinbruch

Este é o link de um ótimo livro que usei em algebra. espero ter ajudado.

Uma forma de se obter equações não triviais em um sistema de equações homogêneo é eliminação gaussiana. Vamos resolver um exemplo. Tomemos o sistema abaixo:

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc@{\qquad}l} -x&+&2y&-&z&=&0\\ 2x&+&y&-&2z&=&0\\ x&+&3y&-&3z&=&0\\ \end{array}\right.\)

Precisamos zerar o primeiro termo de cada uma das duas últimas equações:

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc@{\qquad}l} -x&+&2y&-&z&=&0&&(L_1)\\ &&5y&-&4z&=&0&&(L_2+2L_1)\\ &&5y&-&4z&=&0&&(L_3+L_1)\\ \end{array}\right.\)

As duas últimas equações ficaram iguais, então podemos eliminar a última:

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc@{\qquad}l} -x&+&2y&-&z&=&0\\ &&5y&-&4z&=&0\Rightarrow y={4\over5}z\\ \end{array}\right.\)

Substituindo \(y\) na primeira equação, temos:

\(-x+2\left({4\over5}z\right)-z=0\Rightarrow x={3\over5}z\)

Temos, portanto, a seguinte solução geral:

\(S=\left\{{3\over5}z,{4\over5}z,z\right\}\)

Escrevendo de forma inteira, temos:

\(\boxed{S=\left\{3\lambda,4\lambda,5\lambda\right\},\forall\lambda\in\mathbb{R}}\)