Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
4. Cônicas e Quádricas 4.1. Cônicas As cônicas são curvas planas obtidas pela seção do cone por planos. Por essa razão tais curvas são também chamadas de seções cônicas. Iremos estudar as curvas citadas na figura abaixo: Circunferência Elipse Parábola Hipérbole De acordo com a posição do plano seccionador a curva obtida pode ser elipse, parábola, circunferência ou hipérbole. OBS: Consideramos cônicas no plano XOY. 4.2. Elipse Sejam F1 e F2 pontos distintos tais que d (F1,F2)=2c,c>0=||F1,F2|| e aER, a>c Elipse é o lugar geométrico dos pontos P=(x,y)+d(P1,F2)=2a y B2 b. a 0. a F1. C F2. A2 A1 -a Onde: . F1 e F2 são os focos da elipse; . 2c=d(F1,F2) é a distância focal; . O ponto médio do segmento F1F2 é o centro da elipse; . A1=(-a,0), A2=(a,0) .B1=(completar) .F1=(-c,0), F2=(c,0) .A1, A2, B1, B2 são os vértices da elipse; . A1A2, B1B2 são os eixos da elipse; .||F1P||,||F2P|| são os raios focais; . e=c/a<1 é a excentricidade da elipse Equação explicita da elipse: Considere F1=(-c,0), F2=(c,0), c>0 c,aER Então d(P1F1)+d(P1F2)=2a<=>d(P1F1)=||PF1||= ||F1-P||=||(-c,0)-(x,y)|| ||(-c-x,-y)||= sqrt[(c+x)^2+y^2] Sqrt[(x+c)^2+y^2]+sqrt[(x+c)^2+y^2]=2a Onde: a=semi-eixo maior e b=semi-eixo menor 3) Excentricidade é um parâmetro associado a qualquer cônico que mede o seu desvio em relação a circunferência. Circunferência: e=0 Elipse: 0<e<1 Parábola: e=1 Hipérbole: e>1 Exemplos: 1) Escreva a equação da elipse sabendo-se que e o eixo maior mede 34. 2) Encontre a equação da elipse de focos F1=(-1,0), F2=(1,0) e uma das vértices é (0, 2 ) 4.2 - Elipse semi-eixo maior = a semi-eixo menor = b distância focal = 2c excentricidade = e= <1 a) Eixo maior no eixo OX: b) Eixo maior no eixo OY: Área=A=πab π=3,14 Circunferência A circunferência de raio r>0 e centro C=(p,q) é o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) satisfazendo onde P pertence a circunferência Isto é, Como já sabemos, a circunferência é um caso particular de elipse. A equação da Elipse com centro na origem: para circunferência: a=b=r A equação 1 é a equação da circunferência de C=(0,0) e raio r=a=b. OBS: 1) Se F =F =C então a circunferência é uma elipse de centro C e raio r=a=b e além disso tem excentricidade nula, pois C=0 2) Equação paramétrica: X=a+r cos(t) Y=b+r sen(t) 3) Equação Geral: 4) Perímetro = p=2πr diâmetro = d=2r Onde π=3,14 5) Círculo: É a área interna delimitada pela circunferência Área=πr 4.3 - Hipérbole Sejam F e F pontos distintos tais que Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que Onde: . F e F são os focos; é a distância focal; . O ponto médio de F F é o ponto médio da hipérbole. A simplificação da equação nos conduz a: Representação geométrica: Onde: São os vértices da hipérbole Obs: A equação mostra que Isto é, . Para x>0, a hipérbole esta abaixo da reta y=b/a x e acima da reta y=-b/a x . Para x<0, a hipérbole está abaixo da reta y=-b/a x e acima da reta y=b/a x Essa retas são assíntotas da hipérbole. O estudo sobre hipérboles pode ser resumido como: Eixo conjugado: Oy Eixo transverso: OX Retângulo Fundamental Eixo conjugado: OX Eixo transverso: OY 09/05/2012 4.4. Parábola Sejam r uma reta e F um ponto, ambos do plano XOY. A parábola com diretriz r e foco F é o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que d(P,r)=d(P,F). Parábola definida como o conjunto dos pontos que são eqüidistantes devem ponto dado (foco) e de uma reta dada (diretriz) Onde: F=foco V=(0,0) vértice r=diretriz Equação da Parábola com r:x=-a e F=(a,0),a>0 Sejam P =(-a,0), P =(-a,1) e P=(x,y) Parábola OBS: 1) Parábola possui eixo único de simetria reflexiva, o qual passa através do seu foco (F) e é perpendicular a diretriz (r). 2) OX é o eixo de simetria da parábola. 3) V=(0,0) é o vértice da parábola. 4) Gráfico Outras equações: 2º Caso: 3º Caso: 4º caso: Superfícies quadráticas As quadráticas são superfícies do espaço XOYOZ (tridimensional) obtidas pelo estudo da equação geral do segundo grau: onde A,B,C,D,E,F,G,H,I,J são constantes fixadas. De acordo com os valores atribuídos as constantes A,B,C,D,E,F,G,H,I, J as superfícies quadráticas podem ser: 4.5. Cilindros; 4.6. Superfície de revolução; 4.7. Elipsoide; 4.8 e 4.9. Dois tipos de Hiperbolóides; 4.10 e 4.11. Dois tipos de Parabolóides; 4.12. Cones quadráticos; Esfera; Nossa tarefa é estudar em detalhe cada uma dessas quádricas. Superfícies - As superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do 2º grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática. Apresentaremos algumas equações das quádricas: Equação: Observemos que todos sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio, então existem 3 possibilidades: - todos positivos; - 2 negativos e 1 positivo; - 2 positivos e 1 negativo. Superfícies Quádricas: 1. Elipsóide 1.1. Elipsóide de Revolução 1.1.1. Esfera 2. Parabolóide Elíptico 2.1. Parabolóide de Revolução (formato semelhante taça) 3. Parabolóide Hiperbólico (formato semelhante sela) 4. Hiperbolóide de uma Folha 5. Hiperbolóide de duas Folhas 4.1. Cone 6. Cilindro elíptico 7. Cilindro Circular 8. Cilindro hiperbólico 9. Cilindro parabólico Verificar material PDF - MAT011 - Aulas "p.20 4.5. Cilindros 4.11. Parabolóide hiperbólico Tem equação 4.12. Cone quádrico Um hiperbolóide degenerado possui a equação Se a=b então esta equação irá fornecer um cone circular se a=b um elíptico (não de revolução). 4.13. Mudança de coordenadas Observe a figura: Vê-se que temos 2 sistemas de coor- denadas: xOy e x'O'y' ambas ortogonais. A resolução de certos problemas geométricos requer a mudança de um sistema para outro. Há três formas de passar de um sistema O, i,j,k para O',u ,u ,u : 1) Translação de eixos: Consiste em mudar a origem, isto é, substituir o sistema O,i,j,k para O',i,j,k 2) Rotação de Eixos: substituir o sistema O, i,j,k por outro O,u ,u ,u onde {i,j,k} e {u ,u ,u } são bases ortonormais. 3) Rotação seguida de translação de eixos: Substituir um sistema o,i,j,k por outro O', v ,v , v Pergunta: Dado as coordenadas (x,y,z), (x',y',z') de um ponto P nos sistemas (O,i,j,k),(O',u ,u , u ), respectivamente, qual é a relação entre (x,y,z) e (x',y',z')? 4.14. Translação e Rotação entre Eixos Exemplo: As coordenadas de P=(1,2-1) no sistema (O',i,j,k) com O'=(2,1,3). Encontre a coordenada de P no sistema (O,i,j,k) Rotação: Pará 2 sistemas (O,i,j,k),(O,u ,u ,u ) as coordenadas (x',y',z') relacionam-se com (x,y,z) como segue: 4.15. Aplicações às equações do 2º grau em R Consideremos a equação do 2º grau do tipo (*) Ax +By +Cz +Dx+Ey+Fz+G=0 Afirmação 1 - Se A=0, então é possível transladar o sistema (O,i,j,k) para um sistema (O',i,j,k) tal que (*), no novo sistema não contenha o termo do 1º grau na coordenada x. Teorema 1 - é possível dar o sistema (O=(0,0,0),i,j,k) para um sistema (O=(a,b,c),i,j,k) de modo que a equação Ax +By +Cz+Dx+Ey+Fz+G=0 se expressa como A'x' +B'y' +C'z' +G'=0 se A=0,B=0,C=0 Prova X=x'+a y=y'+b Z=z'+c Teorema 2 - Se a equação do 2º grau for da forma então existe um sistema (O',u ,u , u ) tal que (*) se escreve como Lista de exercícios 3 - Xerox Capitulo 4 Entregar até 20/06 (Prova) - 5exercícios 5 ptos extra 5. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 5.1. Corpo Algébrico Indicaremos os números complexos de C. Estamos interessados em conjuntos K de números complexos que possuem as seguintes propriedades: 1. Se os números x e y pertencem ao conjunto K, então a soma x+y e o produto xy também pertencem a K. 2.se o número x pertence a K, então seu simétrico - x também pertence a K. Além disso, se x for um número nao-nulo de K, então seu inverso x Também pertence a K 3. O conjunto K contém os números 0 e 1. Os conjuntos K de números complexos que possuem essas propriedades chamam-se corpos. Exemplos: Observação: O conjunto N de todos os números inteiros positivos e o conjunto Z de todos os números inteiros relativos não são corpos, pois, a propriedade 2 não vale. 5.2. Os Espaços K Vimos anteriormente, a partir do corpo R dos números reais, os espaços euclidianos R . Se KCC é um corpo qualquer, podemos, de maneira análoga, definir os espaços K como o conjunto de todas n-uplas ordenadas x=(x ,...,x ) de números do corpo K. Definições: Soma das n-uplas: Seja x=(x ,x ,...,x ) e y=(y ,y ,..., y ), então a soma será: X+y=(x +y ,...,x +y ) Produto por Escalar: Se c é um número de K, então Cx=(cx ,cx ,...,cx ) Podemos verificar que a soma e o produto por escalares, assim definidos em K , satisfazem as mesmas propriedades algébricas que a soma e o produto por escalar do R . Teorema. Se x,y,z são n-uplas de K e c,d são números de K, então: Produto interno Seja x=(x ,x ,...,x ) e y=(y ,y ,...,y ) de K , o produto interno é definido por: X.y=x y +...+x y Produto interno possui as três primeiras propriedades do produto interno do R . Teorema: Se x,y,z, são n-uplas de K e c é um número de K, então: Observe que, como estamos usando números complexos, X.X pode não ser um número real, como também X.X<0 e X.X=0 com X=0. Exemplo: Sejam X=(0,1+i), Y=(1,2i) e Z=(1,i). Encontre: Assim, o produto interno de K não é, em geral, positivo definido. Porém, é não degenerado, isto é, possui a seguinte propriedade: 4. Se X.Y=0 para toda n-upla Y de K , então X=0. Observação: Combinação linear, dependência e independência linear, subespaços e bases são definidos para K da mesma maneira como definimos para R. Chamaremos as n-uplas de K, indiferentemente, de pontos ou vetores. O conjunto de vetores {E ,...,E } é a base natural de K . 5.3. Matrizes As matrizes são generalizações naturais das n-uplas. Sejam K um corpo e m,n inteiros positivos. Uma matriz mxn, com elementos no corpo K, é um quadro A da forma: O número A chama-se o elemento de ordem ij de A. A i-nésima linha da matriz A é a n-upla. A j-ésima coluna de A é a m-upla. Logo, uma matriz mxn possui m linhas e n colunas. Exemplos: Representação de matrizes Matéria da prova (20/5) Capitulo 4 - Cônicas e Quádricas Capitulo 5 - Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Formulário: somente capitulo 4, sem as formulas básicas 30/05 Tipos de Matrizes: a) Matriz Retangular: uma matriz na qual m=n é determinada retangular. b) Matriz Quadrada: matriz na qual m=n. OBS: Pode ser representada por Amxn ou simplesmente An. c) Matriz Coluna: A matriz ordem m por 1 d) Matriz Linha: A matriz ordem 1 por n. e) Matriz Diagonal: A matriz quadrada A=[a ] que tem os elementos a =0, quando i=j. OBS: Diagonal Principal. Os elementos a , em que i=j constituem a diagonal principal. Diagonal secundária - elementos a em que i+j=n+1, constituem a diagonal secundária. f) Matriz Escalar: matriz quadrada onde a diagonal principal tem elementos iguais entre si e os elementos a =0 para i=j. g) Matriz Unidade ou Identidade: é a matriz escalar que tem elementos a =1 se i=j. h) Matriz Nula: matriz onde aij=0. i) Matriz Triangular superior: matriz quadrada onde aij=0 quando i>j. j) Matriz Triangular Inferior: Matriz quadrada onde aij=0 quando i<j. k) Matriz Simétrica: Dizemos que uma matriz é simétrica quando a matriz triangular superior é igual a sua transposta. l) Matriz transposta: dada a matriz A=[aij] dizemos que a matriz é transposta para A=[aji], ou seja, tocamos linha por coluna. Seja Amxn então A é nxm. m) Matriz Simétrica: matriz quadrada A é simétrica se A=A e anti-simétrica A=-A. Teorema - Se A e B são matrizes mxn e c é um escalar em K então Exercícios 1) Verifique se as matrizes são simétricas ou anti- simétricas: 2) Relacione as matrizes com a coluna ao lado: 3) Desenvolva uma matriz 2x3 tal que Operações de Matrizes O conjunto de todas as matrizes mxn com elementos em um corpo K será indicado por M ( K). Definiremos adição e produto por escalar em M ( K) de maneira análoga ao que foi feito para K Sejam A e B matrizes mxn. A matriz soma A+B é definida por (A+B) = A +B , 1<i<m e 1<j<n OBS: A soma das matrizes é uma generalização natural da soma de n-uplas. A matriz nula mxn comporta-se em Mmn( K) da mesma maneira que o vetor nulo em K : se A é uma matriz qualquer em Mmn( K), então 0+A=A+0=A. Se A é uma matriz em Mmn( K) e c é um número qualquer em K, a matriz c A é definida por Isto é, o elemento de ordem ij da matriz cA é c multiplicado pelo elemento de ordem ij de A. Observe que se A é uma matriz qualquer então A+(-1)=0. A matriz (-1) A é geralmente indicada por -A. A adição e o produto por escalares definidos em Mmn(K) têm as mesmas propriedades que as referidas operações possuem em K, isto é, vale o Teorema 1 de 5.2.
Compartilhar