MULTIPLICAÇÃO DE RADICAIS : √10 . √(5&12) . ∛30

Escrevendo na forma de potência com expoente fracionário, temos

10^(1/2) . 12^(1/5) . 30^(1/3)

Note que:

10 = 2 . 5
12 = 4 . 3 = 2^2 . 3
30 = 3 . 10 = 3 . 2 . 5

Assim, encontramos:

(2 . 5)^(1/2) . (2^2 . 3)^(1/5) . (3 . 2 . 5)^(1/3) =
2^(1/2) . 5^(1/2) . (2^2)^(1/5) . 3^(1/5) . 3^(1/3) .  2^(1/3) . 5^(1/3)

Vamos primeiro organizar aquelas que tem o mesmo denominador:

[ 2^(1/2) . (2^2)^(1/5) ] . [ 5^(1/2) . 5^(1/3) ] . [ 3^(1/5) . 3^(1/3) ] 

Usando as propriedades de potência:

[ 2^(1/2) . 2^(2/5) ] . [ 5^(1/2) . 5^(1/3) ] . [ 3^(1/5) . 3^(1/3) ] =
2^(1/2 + 2/5) . 5^(1/2 + 1/3) . 3^(1/5 + 1/3) =
2^(9/10) . 5^(5/6) . 3^(8/15) 

Vamos agora tirar o MMC de 10, 6 e 15, os denominadores dos expoentes: MMC(10, 6, 15) = 30. 

Agora, vamos encontrar frações equivalentes a 9/10, 5/6 e 8/15, todas com denominador 30 (o MMC que calculamos). As funções são respectivamente 27/30, 25/30 e 16/30.

Fazendo a substituição em 2^(9/10) . 5^(5/6) . 3^(8/15)  de cada fração correspondente, temos

2^(27/30) . 5^(25/30) . 3^(16/30)  

Agora que todos os expoentes têm o mesmo denominador, podemos agrupá-los:

[2^27 . 5^25 . 3^16]^(1/30) = raiz trigésima de (2^27 . 5^25 . 3^16).

Vamos fazer o m.m.c entre os indices. 

m.m.c entre 2,5 e 3 = 30.

Trocando os índices temos que