O polígono regular que possui a medida de cada ângulo interno igual a 150o é o:

Se o angulo interno mede 150º cada, então cada angulo externo mede 30º, pois ai + ae = 180º 

E a soma dos angulos externos tem que ser 360º. 
Então 
360 = 30n 
n = 36/3 = 12 lados. 

O poligono tem 12 lados. 

Agora a formula para o numero de diagonais é: 
Nd = n(n - 3)/2 
Nd = 12(9)/2 
Nd = 6 * 9 
Nd = 54 diagonais 

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Sendo \(\theta = 150^{\circ}\) o ângulo interno, o número de lados do polígono regular é:

\(\Longrightarrow n={360^{\circ} \over 180^{\circ} - \theta}\)

\(\Longrightarrow n={360^{\circ} \over 180^{\circ} - 150^{\circ}}\)

\(\Longrightarrow n={360^{\circ} \over 30^{\circ}}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ n = 12 \, \mathrm{lados} $}\)