Os modelos lineares comumente usados na mensuração florestal podem ser escritos matricialmente por:
em que:
tal que:
Para obter as estimativas do vetor de parâmetros, pode-se utilizar o Método dos Mínimos Quadrados (MQO), que minimiza a soma de quadrados dos resíduos (e); ou o Método de Máxima Verossimilhança (MVS), que maximiza a probabilidade de ocorrência da variável dependente (Y). Se a variável dependente e o resíduo possuírem distribuição normal, as estimativas dos parâmetros () serão iguais nos dois métodos, porém a variância do erro () será viesada no MVS.
Seja o seguinte modelo linear:
que as estimativas de Y sejam obtidas por:
e que os erros nas estimativas sejam dados por:
Assim sendo, utilizando-se as expressões anteriores, pode-se escrever que:
Para encontrar as estimativas de β0 e β1 que minimizam a soma do quadrado do resíduo (fundamento do MQO), deve-se diferenciar parcialmente a expressão 1 em relação aos parâmetros e igualar a zero. Fazendo esta operação, tem-se:
As expressões 2 e 3 podem ser escritas como:
Expandindo-se os somatórios da expressão 4, tem-se o seguinte estimador de β0:
Expandindo-se também os somatórios da expressão 5, tem-se:
Substituindo-se (7) em (9), obtém-se o estimador de β1, dado por:
No caso de um modelo linear múltiplo, como, por exemplo:
o qual pode ser representado matricialmente por:
,
pode-se generalizar a solução de MQO, tal que:
A soma de quadrados dos resíduos () é dada, então, por:
Para encontrar a solução que minimiza a soma de quadrados dos resíduos (expressão 11), tem-se:
Multiplicando-se os dois lados da igualdade por:
,
obtém-se o seguinte sistema de equações normais:
que é a solução que minimiza a soma de quadrados no MQO.
Os estimadores de Mínimos Quadrados são denominados de BLUE (em inglês), que significa: os melhores estimadores lineares não viesados, isto é, aqueles que possuem variância mínima e que:
.
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta
Compartilhar