3) Sabendo-se que x² - 6x + m > 0 , x Є ℝ , determine m

Neste exercício, será resolvida a seguinte inequação:

\(\Longrightarrow x^2-6x+m>0\)

A expressão \(x^2-6x+m\) está no formato \(ax^2+bx+c\), com \(a=1\), \(b=-6\) e \(c=m\). Como o valor de \(a\) é maior do que zero, a função \(f(x)=x^2-6x+m\) possui concavidade voltada para cima. Portanto, há um ponto de mínimo. E se esse ponto de mínimo for positivo, todos os outros pontos também serão positivos.

O valor de \(x\) correspondente ao ponto de mínimo pode ser encontrado pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow f'(x)=0\)

Portanto, o valor de \(x\) correspondente é:

\(\Longrightarrow (x^2-6x+m)'=0\)

\(\Longrightarrow 2x-6+0=0\)

\(\Longrightarrow 2x=6\)

\(\Longrightarrow \underline{ x=3 }\)

Ou seja, para qualquer valor real de \(m\), o valor de \(x\) correspondente ao ponto de mínimo é 3.

Conforme a inequação \( x^2-6x+m>0\), o valor de \(f(x)\) deve ser maior do que zero. Substituindo o valor \( x=3\) na inequação, a solução de \(m\) é:

\(\Longrightarrow x^2-6x+m>0\)

\(\Longrightarrow 3^2-6\cdot 3+m>0\)

\(\Longrightarrow 9-18+m>0\)

\(\Longrightarrow -9+m>0\)

\(\Longrightarrow \underline { m>9 }\)

Concluindo, para \(m \in \mathbb{R}\), a solução de \(m\) na inequação \( x^2-6x+m>0\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ m>9 $}\)

Gráfico de \(f(x)=x^2-6x+m\) para \(m=9\):