alguem sabe ? integrais parcias calculo 2

∂f/∂x = 2ye(2x/y)

∂f/∂y = 2ye(2x/y) - 2xe(2x/y)

Na fixa as outras variaveis(toma elas como constantes) e deriva pela principal a primeira é regra da cadeia onde y² é constante e sai da derivada e depois conta com o y de derivada da componente da exponencial.
A segunda vai como regra do produto como tanto a exponencial como a polinomial são dependentes de y e estão se multiplicando.

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nossos conhecimentos sobre Cálculo Diferencial, em especial sobre Derivadas Parciais.

Neste contexto, é importante lembrar que a derivada parcial de uma função de várias variáveis consiste na derivada em relação a uma das variáveis, enquanto as demais são consideradas constantes.

Assim, como a função do presente problema possui duas variáveis, primeiramente calcularemos a derivada parcial de segunda ordem em relação a \(x\) e, em seguida, em relação a \(y\). Deste modo:

\(\begin{align} \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x}&=\dfrac{\partial(y^2e^{\frac{2x}{y}})}{\partial x} \\&=y^2\cdot e^{\frac{2x}{y}}\cdot \frac{2}{y} \\&=2y\cdot e^{\frac{2x}{y}} \end{align}\)

\(\begin{align} \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y}&=\dfrac{\partial(y^2\cdot e^{\frac{2x}{y}})}{\partial y} \\&=2y\cdot e^{\frac{2x}{y}}+y^2\cdot e^{\frac{2x}{y}}\cdot \left(-\frac{2x}{y^2} \right) \\&=2y\cdot e^{\frac{2x}{y}}-2x\cdot e^{\frac{2x}{y}} \\&=-2\cdot e^{\frac{2x}{y}}(x-y) \end{align}\)

Portanto, as derivadas parciais da função \(F(x,y)=y^2\cdot e^{\frac{2x}{y}}\) em relação a \(x\) e \(y\) são, respectivamente, \(\boxed{ \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x}=2y\cdot e^{\frac{2x}{y}}} \) e \( \boxed{ \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y}=-2\cdot e^{\frac{2x}{y}}(x-y)} \).