Como calcular a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x^2 + y^2?

f(x,y) = 2x² + y²
=> F(x) = 2.2x ²-¹ + y²
=> F(x) = 4x + y²
=> F(y) = 2x² + 2y ²-¹
=> F(y)= 2x² + 2y
=> F(xx)= 4+y²
=>F(xy)= 4x+2y
=> F(yx)= 4x+2y
=> F(yy)= 2x²+ 2

Acho que é isso.

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nossos conhecimentos sobre Cálculo Diferencial, em especial sobre Derivadas Parciais.

Neste contexto, é importante lembrar que a derivada parcial de uma função de várias variáveis consiste na derivada em relação a uma das variáveis, enquanto as demais são consideradas constantes.

Além disso, é importante lembrar que a derivada de segunda ordem de uma função é a derivada da derivada desta função.

Assim, como a função do presente problema possui duas variáveis, primeiramente calcularemos a derivada parcial de segunda ordem em relação a \(x\) e, em seguida, em relação a \(y\). Deste modo:

\(\begin{align} \dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}&=\dfrac{\partial^2(2x^2+y^2)}{\partial x^2} \\&=\dfrac{\partial(4x)}{\partial x} \\&=4 \end{align}\)

\(\begin{align} \dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2}&=\dfrac{\partial^2(2x^2+y^2)}{\partial y^2} \\&=\dfrac{\partial(2y)}{\partial y} \\&=2 \end{align}\)

Portanto, as derivadas parciais de segunda ordem da função \(f(x,y)=2x^2+y^2\) em relação a \(x\) e \(y\) são, respectivamente, \(\boxed{\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}=4} \) e \(\boxed{\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2}=2} \).