Inequação Quociente, como resolver?

2/(2x+3)≤2/(x-5) ∴simplifica o por dois, multiplica em cruz;

(x-5)≤(2x+3)⇒ -5-3≤2x -x⇒ -8≤x ∴ x ≥ -8 

Precisamos adaptar a inequação:

\(\frac{2}{2x+3} - \frac{2}{x-5} \leq 0 \\ \frac{2(x-5) - 2(2x+3)}{(2x+3)(x-5)} \leq 0 \\ \frac{-2x - 16}{(2x+3)(x-5)} \leq 0\)

Basta montar agora um quadro de sinais com as expressões. Para o numerador, para o (2x + 3) e para (x - 5), respectivamente:

+++++++++(-8)--------------------------------------------------------

------------------------------(-1,5)+++++++++++++++++++++++

-----------------------------------------------------(+5)+++++++++++

Tomada a intersecção, teremos:

+++++++++(-8)----------(-1,5)++++++++++(+5)-------------------

A raiz -8 é incluída, pois substituída torna a expressão 0 e \(0 \leq 0\). As outras duas não entram porque estão no denominador e zeram o denominador, o que não é possível.

Logo, a solução é: \(\boxed{S = [-8,0;1,5[ \ \cup \ ]+5,0; +\infty[}\)