Duvida: Derivação implícita.

Para resolver esse exercício vamos assumir que queiramos derivar $z$ em relação às outras variáveis.

Temos a seguinte expressão:

$$x^2+z\sin(xyz)=0$$

Primeiro vamos derivar em relação a $x$. Para a segunda parte vamos usar regra do produto e regra da cadeia:

$$2x+ \dfrac{\partial z}{\partial x}\sin(xyz)+ z\cos(xyz) \dfrac{\partial xyz}{\partial x}=0$$

$$2x+ \dfrac{\partial z}{\partial x}\sin(xyz)+ z\cos(xyz)\left( xy\dfrac{\partial z}{\partial x}+yz\dfrac{\partial x}{\partial x}\right)=0$$

$$2x+ \dfrac{\partial z}{\partial x}\sin(xyz)+ xyz\cos(xyz)\dfrac{\partial z}{\partial x}+ yz^2\cos(xyz)=0$$

$$\boxed{\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{2x+yz^2\cos(xyz)}{\sin(xyz)+xyz\cos(xyz)}}$$

Aplicando o mesmo método para a segunda derivada parcial, temos:

$$0+ \dfrac{\partial z}{\partial y}\sin(xyz)+ z\cos(xyz) \dfrac{\partial xyz}{\partial y}=0$$

$$\dfrac{\partial z}{\partial y}\sin(xyz)+ z\cos(xyz)\left( xy\dfrac{\partial z}{\partial y}+xz\dfrac{\partial y}{\partial y}\right)=0$$

$$\dfrac{\partial z}{\partial x}\sin(xyz)+ xyz\cos(xyz)\dfrac{\partial z}{\partial y}+ xz^2\cos(xyz)=0$$

$$\boxed{\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{xz^2\cos(xyz)}{\sin(xyz)+xyz\cos(xyz)}=-\dfrac{xz^2}{\tan(xyz)+xyz}}$$