Duvida: Derivação implícita.
9. Calcule usando diferenciação implícita.
b) x2 + z sin(xyz) = 0
Vou recomendar se responder ate dia 22/09
5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista
RD Resoluções
Há mais de um mês
Para resolver esse exercício vamos assumir que queiramos derivar $z$ em relação às outras variáveis.
Temos a seguinte expressão:
$$x^2+z\sin(xyz)=0$$
Primeiro vamos derivar em relação a $x$. Para a segunda parte vamos usar regra do produto e regra da cadeia:
$$2x+ \dfrac{\partial z}{\partial x}\sin(xyz)+ z\cos(xyz) \dfrac{\partial xyz}{\partial x}=0$$
$$2x+ \dfrac{\partial z}{\partial x}\sin(xyz)+ z\cos(xyz)\left( xy\dfrac{\partial z}{\partial x}+yz\dfrac{\partial x}{\partial x}\right)=0$$
$$2x+ \dfrac{\partial z}{\partial x}\sin(xyz)+ xyz\cos(xyz)\dfrac{\partial z}{\partial x}+ yz^2\cos(xyz)=0$$
$$\boxed{\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{2x+yz^2\cos(xyz)}{\sin(xyz)+xyz\cos(xyz)}}$$
Aplicando o mesmo método para a segunda derivada parcial, temos:
$$0+ \dfrac{\partial z}{\partial y}\sin(xyz)+ z\cos(xyz) \dfrac{\partial xyz}{\partial y}=0$$
$$\dfrac{\partial z}{\partial y}\sin(xyz)+ z\cos(xyz)\left( xy\dfrac{\partial z}{\partial y}+xz\dfrac{\partial y}{\partial y}\right)=0$$
$$\dfrac{\partial z}{\partial x}\sin(xyz)+ xyz\cos(xyz)\dfrac{\partial z}{\partial y}+ xz^2\cos(xyz)=0$$
$$\boxed{\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{xz^2\cos(xyz)}{\sin(xyz)+xyz\cos(xyz)}=-\dfrac{xz^2}{\tan(xyz)+xyz}}$$

Andre Smaira
Há mais de um mês
Para resolver esse exercício vamos assumir que queiramos derivar $z$ em relação às outras variáveis.
Temos a seguinte expressão: