Prove que cos a - cos b =

Sabemos que:

cos(x+y) = cosx.cosy - senx.senxy

cos(x-y) = cosx.cosy + senx.senxy

Subtraindo essas duas expressões, obtemos:

cos(x+y) - cos(x-y) = 2senx.seny

Fazendo a = x+y e b = x-y, segue que x = (a+b)/2 e y = (a-b)/2

Logo,

cos a - cos b = 2sen[(a+b)/2].sen[(a-b)/2]

Primeiramente, façamos uma mudança de variáveis:

u = (a+b)/2, v = (a-b)/2. Assim, a = u + v, b = u - v.

Substituindo,

cos a - cos b = cos(u+v) - cos(u-v)  = cos(u)cos(v) - sen(u)sen(v) - cos(u)cos(v) - sen(u)sen(v) = -2sen(u)sen(v) = -2sen[(a+b)/2] sen[(a-b)/2].