Como calcular projeção ortogonal?

Utilize o produto escalar!

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nossos conhecimentos sobre Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, em especial sobre operações com vetores.

Neste contexto, dado dois vetores \(u=(x_1,y_1)\) e \(v=(x_2,y_2)\):

\(\begin{align} |u|&=\sqrt{x_1^2+y_1^2} \\<u,v>&=x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2 \\<u,v>&=\cos \theta\cdot |u|\cdot |v| \end{align}\)

em que \(|u|\) é o comprimento do vetor \(u\), também chamado de norma de \(u\) ou módulo de \(u\); e \(<u,v>\) o produto interno entre \(u\) e \(v\), que relaciona o ângulo entre os vetores, \(\theta\), com o seu comprimento.

Tendo tais definições em mente, a projeção ortogonal de um vetor \(v\) em \(u\) é calculada através da expressão abaixo:

\(\begin{align} Proj_uv = \dfrac{<v,u>}{|u|^2}\cdot u \end{align}\)

Para exemplificar, vamos calcular a projeção do vetor \(v=(1,1)\) em \(u=(3,4)\):

\(\begin{align} Proj_uv &= \dfrac{1\cdot 3+1\cdot 4}{3^2+4^2}\cdot (3,4) \\&=\dfrac{7}{25}\cdot( 3,4) \\&=\left(\dfrac{21}{25},\dfrac{28}{25} \right) \end{align}\)