Resolver a equação:arcsen x=arccos (√2/4 x)

 Partindo que sqrt(x) =raíz quadradade um numero x
Resolva para x sobre os números reais:
sin ^ (- 1) (x) = cos ^ (- 1) ((sqrt (2) x) / 4)
cos ^ (- 1) ((sqrt (2) x) / 4) = cos ^ (- 1) (x / (2 sqrt (2))):
sen ^ (- 1) (x) = cos ^ (- 1) (x / (2 sqrt (2)))
Subtraia cos ^ (- 1) (x / (2 sqrt (2))) de ambos os lados:
sen ^ (- 1) (x) - cos ^ (- 1) (x / (2 sqrt (2))) = 0
Pegue o cosseno de ambos os lados:
cos (cos ^ (- 1) (x / (2 sqrt (2))) - sin ^ (- 1) (x)) = 1
Expandir usando cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) - sin (alfa) sin (beta):
cos (cos ^ (- 1) (x / (2 sqrt (2)))) cos (-sin ^ (- 1) (x)) - sen (cos ^ (- 1) (x / (2 sqrt (2 )))) sin (-sin ^ (- 1) (x)) = 1
Aplique as identidades cos (cos ^ (- 1) (z)) = z, cos (-sin ^ (- 1) (z)) = sqrt (1 - z ^ 2), sen (cos ^ (- 1) ( z)) = sqrt (1 - z ^ 2) e sin (-sin ^ (- 1) (z)) = -z:
(x sqrt (1 - x) sqrt (x + 1)) / (2 sqrt (2)) + (x sqrt (2 sqrt (2) - x) sqrt (x + 2 sqrt (2))) / (2 sqrt (2)) = 1
Reescreva o lado esquerdo combinando frações. 
(sqrt (1 - x) x sqrt (x + 1)) / (2 sqrt (2)) + (sqrt (2 sqrt (2) - x) x sqrt (x + 2 sqrt (2))) / (2 sqrt (2)) = 1/4 (sqrt (2) sqrt (1 - x) x sqrt (x + 1) + sqrt (2) sqrt (2 sqrt (2) - x) x sqrt (x + 2 sqrt ( 2))):
1/4 (sqrt (2) x sqrt (1 - x) sqrt (x + 1) + sqrt (2) x sqrt (2 sqrt (2) - x) sqrt (x + 2 sqrt (2))) = 1
Multiplique ambos os lados por 4:
sqrt (2) x sqrt (1 - x) sqrt (x + 1) + sqrt (2) x sqrt (2 sqrt (2) - x) sqrt (x + 2 sqrt (2)) = 4
(sqrt (2) sqrt (1 - x) x sqrt (x + 1) + sqrt (2) sqrt (2 sqrt (2) - x) x sqrt (x + 2 sqrt (2))) ^ 2 = 2 ( 1 - x) x ^ 2 (x + 1) + 4 sqrt (1 - x) sqrt (2 sqrt (2) - x) x ^ 2 sqrt (x + 1) sqrt (x + 2 sqrt (2)) + 2 (2 sqrt (2) - x) x ^ 2 (x + 2 sqrt (2)) = 2 (1 - x) x ^ 2 (x + 1) + 4 sqrt (- (2 sqrt (2) - x ) (x - 1)) x ^ 2 sqrt (x + 1) sqrt (x + 2 sqrt (2)) + 2 (2 sqrt (2) - x) x ^ 2 (x + 2 sqrt (2)) = 16:
2 x ^ 2 (1 - x) (x + 1) + 4 sqrt (- (2 sqrt (2) - x) (x - 1)) x ^ 2 sqrt (x + 1) sqrt (x + 2 sqrt ( 2)) + 2 x ^ 2 (2 sqrt (2) - x) (x + 2 sqrt (2)) = 16
Combine sqrt (- (x - 1) (2 sqrt (2) - x))

Combine sqrt (- (x - 1) (2 sqrt (2) - x)) e sqrt (x + 1) sob a mesma raiz quadrada:
2 x ^ 2 (1 - x) (x + 1) + 4 x ^ 2 sqrt (- (2 sqrt (2) - x) (x - 1) (x + 1)) sqrt (x + 2 sqrt (2 )) + 2 x ^ 2 (2 sqrt (2) - x) (x + 2 sqrt (2)) = 16
Combine sqrt (- (x - 1) (x + 1) (2 sqrt (2) - x)) e sqrt (x + 2 sqrt (2)) sob a mesma raiz quadrada:
2 x ^ 2 (1 - x) (x + 1) + 2 x ^ 2 (2 sqrt (2) - x) (x + 2 sqrt (2)) + 4 x ^ 2 sqrt (- (2 sqrt (2 ) - x) (x - 1) (x + 1) (x + 2 sqrt (2))) = 16
Subtraia 2 (1 - x) x ^ 2 (x + 1) + 2 (2 sqrt (2) - x) x ^ 2 (x + 2 sqrt (2)) de ambos os lados:
4 x ^ 2 sqrt (- (2 sqrt (2) - x) (x - 1) (x + 1) (x + 2 sqrt (2))) = 16 - 2 x ^ 2 (1 - x) (x + 1) - 2 x ^ 2 (2 sqrt (2) - x) (x + 2 sqrt (2))
Levante ambos os lados ao poder de dois:
-16 x ^ 4 (2 sqrt (2) - x) (x - 1) (x + 1) (x + 2 sqrt (2)) = (16 - 2 x ^ 2 (1 - x) (x + 1 ) - 2 x ^ 2 (2 sqrt (2) - x) (x + 2 sqrt (2))) ^ 2
Expanda os termos do lado esquerdo:
16 x ^ 8 - 144 x ^ 6 + 128 x ^ 4 = (16 - 2 x ^ 2 (1 - x) (x + 1) - 2 x ^ 2 (2 sqrt (2) - x) (x + 2 sqrt (2))) ^ 2
Expanda os termos do lado direito:
16 x ^ 8 - 144 x ^ 6 + 128 x ^ 4 = 16 x ^ 8 - 144 x ^ 6 + 452 x ^ 4 - 576 x ^ 2 + 256
Subtraia 16 x ^ 8 - 144 x ^ 6 + 452 x ^ 4 - 576 x ^ 2 + 256 de ambos os lados:
-324 x ^ 4 + 576 x ^ 2 - 256 = 0
Substitua y = x ^ 2:
-324 y ^ 2 + 576 y - 256 = 0
Divida ambos os lados por -324:
y ^ 2 - (16 y) / 9 + 64/81 = 0
Escreva o lado esquerdo como um quadrado:
(y - 8/9) ^ 2 = 0
Pegue a raiz quadrada de ambos os lados:
y - 8/9 = 0
Adicione 8/9 a ambos os lados:
y = 8/9
Substitua de volta por y = x ^ 2:
x ^ 2 = 8/9
Pegue a raiz quadrada de ambos os lados:
x = (2 sqrt (2)) / 3 ou x = - (2 sqrt (2)) / 3
sin ^ (- 1) (x) => sin ^ (- 1) (- (2 sqrt (2)) / 3) = -sin ^ (- 1) ((2 sqrt (2)) / 3) ~~ -1,23096
cos ^ (- 1) ((sqrt (2) x) / 4) => cos ^ (- 1) ((sqrt (2) (-2 sqrt (2))) / (4 3)) = cos ^ ( -1) (- 1/3) ~ ~ 1,91063:
Então esta solução está incorreta
sin ^ (- 1) (x) => sen ^ (- 1) ((2 sqrt (2)) / 3) = sin ^ (- 1) ((2 sqrt (2)) / 3) ~ ~ 1,23096
cos ^ (- 1) ((sqrt (2) x) / 4) => cos ^ (- 1) ((sqrt (2) (2 sqrt (2))) / (4 3)) = cos ^ (- 1) (1/3) ~ ~ 1,23096:
Então esta solução está correta
A solução é:
Resposta: |
 | x = (2 sqrt (2)) / 3