Geometria: Retângulos e Triângulos

Prévia do material em texto

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Repitam esse processo utilizando um dos pedaços menores da folha para obter mais 
2 retângulos.
Finalizado isso, respondam às questões a seguir.
a ) Quantos retângulos foram obtidos ao todo?
b ) Quais são as medidas das dimensões desses retângulos?
c ) Todos os retângulos são semelhantes?
d ) Entre os retângulos, quais são semelhantes?
 9. Considere dois triângulos equiláteros ABC e DEF . Sabendo que o triângulo ABC é maior 
do que o triângulo DEF , a soma das medidas dos perímetros dos dois triângulos é igual 
a 36 m e a razão de semelhança entre eles é 2 : 1 , determine a medida do lado de 
cada triângulo.
 10. As figuras geométricas representadas a seguir são semelhantes entre si? Se necessário, 
utilize régua e transferidor. Justifique sua resposta.
 8. Junte-se a um colega e, com a ajuda dele, dobre ao meio uma folha de papel com as 
medidas das dimensões indicadas a seguir. Feito isso, desdobrem a folha para recortar 
na marca da dobra.
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Em seguida, repitam o processo com uma das partes da folha, para, então, obter mais 
2 pedaços com o formato de um retângulo.
Losangos. Retângulos.
8. a) Resposta: 4 retângulos.
8. b) Resposta: Um retângulo 18 cm × 10 cm , 
um retângulo 9 cm × 10 cm e dois retângulos 
9 cm × 5 cm .
8. c) Resposta: Não.
8. d) Resposta: Os retângulos 18 cm × 10 cm e os retângulos 9 cm × 5 cm .
9. Resposta: Triângulo ABC : 8 m ; Triângulo DEF : 4 m .
10. Resposta: Os losangos 
não são semelhantes, pois 
mesmo que as medidas de 
comprimento dos 
respectivos sejam 
proporcionais, 
eles não têm 
pares de ângulos internos congruentes. Os retângulos não são semelhantes, pois mesmo tendo os respectivos 
ângulos internos congruentes, as medidas de comprimento dos respectivos lados não são proporcionais.
73
• Na atividade 8, incentive os es-
tudantes a obter os retângulos na 
prática. Para isso, eles terão de 
construir um retângulo com as 
medidas de comprimento apre-
sentadas na atividade. Providencie 
antecipadamente os materiais ne-
cessários. 
Aproveite o fato de esta atividade 
ser proposta em dupla e oriente os 
estudantes sobre a importância da 
empatia, do respeito, da boa con-
vivência social e de não ter precon-
ceitos, bem como de compreender 
e aceitar as necessidades e limita-
ções dos outros, de modo a pro-
mover a saúde mental e a cultura 
de paz. Se achar conveniente, con-
verse com eles acerca do comba-
te aos diversos tipos de violência, 
especialmente o bullying. Obtenha 
informações no tópico Cultura de 
paz e combate ao bullying, nas 
orientações gerais deste manual. 
Nesta atividade, por envolver o uso 
da tesoura, mesmo tendo pontas 
arredondadas, alerte os estudantes 
para os eventuais riscos, de modo 
a garantir a integridade física de to-
dos os envolvidos. Ressalte a impor-
tância de terem cuidado ao manu-
sear instrumentos dessa natureza.
• Para resolver a atividade 9, os es-
tudantes podem conjecturar medi-
das do comprimento dos lados dos 
triângulos em questão e testar as hi-
póteses. Esse pensamento é impor-
tante no desenvolvimento do racio-
cínio lógico-matemático. Os estu-
dantes podem também envolver o 
pensamento algébrico para solucio-
nar esta questão. Como a razão de 
semelhança de um triângulo com o 
outro é 2 : 1 , a medida do perímetro 
do maior será o dobro da medida 
do perímetro do menor. Logo, sen-
do p a medida do triângulo de me-
nor perímetro, podemos escrever 
p + 2p = 36 . Então, p = 12 (medida 
do perímetro do menor) e 24 será a 
medida do perímetro do triângulo 
maior. Além disso, 12 : 3 = 4 (me-
dida do comprimento do lado do triângulo menor) 
e 24 : 3 = 8 (medida do comprimento do lado do 
triângulo maior).
• Na atividade 10, é necessário que as duas con-
dições sejam atendidas: pares de ângulos internos 
congruentes e medidas de comprimento dos lados 
proporcionais. Esse tipo de atividade, com mais 
de uma condição, propicia o desenvolvimento do 
raciocínio lógico-matemático, e as observações 
sistemáticas, favorecendo o desenvolvimento de 
aspectos das Competências específicas de Ma-
temática 2 e 4.
A B
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D
A B
CE
D
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A B
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D1
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Homotetia
Podemos ampliar ou reduzir uma figura de diversas maneiras, como utilizando softwares, 
um pantógrafo ou realizando a transformação chamada homotetia. Para compreender me-
lhor, verifique, a seguir, como ampliar o polígono ABCDE na razão 2 : 1 utilizando homotetia.
 • Primeiro, escolhemos um ponto O externo ao polígono e traçamos as semirretas com 
origem nesse ponto e que passam pelos vértices A, B, C, D e E. 
1º. 2º.
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 • Utilizando um compasso ou uma régua, marcamos os pontos A 1 , B 1 , C 1 , D 1 e E 1 , sobre 
as semirretas OA , OB , OC , OD e OE , respectivamente, de modo que O A 1 = 2 ⋅ OA , 
 O B 1 = 2 ⋅ OB , O C 1 = 2 ⋅ OC , O D 1 = 2 ⋅ OD e O E 1 = 2 ⋅ OE .
 • Em seguida, ligamos os pontos A 1 , B 1 , C 1 , D 1 e E 1 e determinamos, assim, o polígono 
 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , que é uma ampliação do polígono ABCDE , na razão 2 : 1 .
74
• Ao trabalhar o conteúdo de 
homotetia, comente com os es-
tudantes que a ampliação e a re-
produção de uma imagem são, 
geralmente, realizadas por meio 
das tecnologias digitais, presentes 
nos programas de computador, 
como o GeoGebra, por exemplo. 
Antes, porém, esse processo era 
realizado por sistemas articulados, 
formados por hastes. Um exem-
plo é o pantógrafo (pantos: tudo 
e graphein: escrever), instrumento 
composto de duas barras maiores, 
com as quais o trabalho era realiza-
do mecanicamente, e apresentado 
na abertura desta unidade. 
No site indicado a seguir, en-
contre informações a respeito de 
como ampliar figuras utilizando o 
pantógrafo, inclusive como cons-
truí-lo no GeoGebra, e identificar 
qual Matemática está implícita ne-
les. Disponível em: https://www.
ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/
moduloII/recursos29.html. Acesso 
em: 26 jul. 2022.
Algo a mais
https://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/moduloII/recursos29.html
https://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/moduloII/recursos29.html
https://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/moduloII/recursos29.html
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BA
DC
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4 m
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Acompanhe o procedimento de redução de um paralelogramo ABCD com razão de se-
melhança 1 : 2 utilizando a homotetia.
 • Determinamos um ponto O interno ao paralelogramo ABCD e traçamos os segmentos 
OA , OB , OC e OD .
1º. 2º.
 • Com auxilio de um compasso, marcamos os pontos A 1 , B 1 , C 1 e D 1 em relação aos 
segmentos OA , OB , OC e OD , respectivamente, de maneira que O A 1 = OA _ 2 , O B 1 = OB _ 2 , 
 O C 1 = OC _ 2 e O D 1 = OD _ 2 . Em seguida, ligamos os pontos obtidos e, assim, determinamos 
o paralelogramo A 1 B 1 C 1 D 1 , que é uma redução por homotetia do paralelogramo ABCD na 
razão 1 : 2 .
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Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 11. Faça em seu caderno o que sepede a seguir.
a ) Construa um triângulo equilátero cujo comprimento do lado mede 6 cm . Em segui-
da, usando homotetia, construa um triângulo equilátero com comprimento de lado 
medindo 3 cm .
b ) Construa um quadrado cujo comprimento do lado mede 4 cm . Em seguida, usando 
homotetia, construa um quadrado com comprimento de lado medindo 8 cm .
 12. Na imagem a seguir foram construídas as figuras A e C com base na figura B, que é um 
hexágono regular.
a ) Qual é a medida de comprimento de cada lado das figuras B e C?
b ) Qual foi a razão de redução da figura B para obter a figura A?
c ) Qual seria a razão de ampliação da figura A para obter a figura C?
11. Respostas na seção Resoluções.
12. Respostas: a) 2 m ; 3,5 m ; b) 1 _ 2 ; c) 14 _ 4 ou 7 _ 2 .
75
• A atividade 11 envolve constru-
ções de triângulos e quadrados. 
Aproveite para trabalhar essas 
construções com régua e compas-
so. Caso tenha disponível o software 
GeoGebra em computadores no la-
boratório de informática, ou possa 
acessá-lo de modo on-line, utilize-
-o para realizar as mesmas cons-
truções. Ao utilizar ferramentas e 
processos matemáticos e também 
tecnologias digitais, é possível de-
senvolver nos estudantes aspectos 
da Competência específica de 
Matemática 5. 
Nesse programa, pode-se realizar 
diversas construções geométricas, 
utilizando pontos, retas, circunfe-
rências e outras curvas, bem co-
mo considerando relações entre 
os elementos envolvidos, como 
posição relativa, pertinência e 
interseção. Usado em escolas e 
universidades de diversos países, 
pode ser obtido gratuitamente e 
está disponível em vários idiomas, 
inclusive em português. O download 
pode ser feito no site disponível 
em: https://www.geogebra.org. 
Acesso em: 22 abr. 2022.
Nesta atividade, por envolver o 
uso do compasso, alerte os estu-
dantes para os eventuais riscos, de 
modo a garantir a integridade físi-
ca de todos os envolvidos. Ressal-
te a importância de terem cuidado 
ao manusear instrumentos dessa 
natureza.
• A atividade 12 requer uma análise 
das medidas apresentadas para os 
casos de homotetia apresentados 
(redução e ampliação). Procure 
incentivar os estudantes a escrever 
as proporções para obter os valo-
res das medidas de comprimento 
dos lados do hexágono B e do he-
xágono C. Ressalte com eles o fato 
de que, como o hexágono é regu-
lar, as medidas do comprimento 
de todos os lados são iguais.
• Se necessário, comente com os estudantes 
que, nesse caso, escolhemos convenientemente 
o ponto O dentro do polígono, coincidindo com 
a interseção das diagonais dele. Porém, podería-
mos escolher qualquer ponto O, dentro ou fora 
do polígono, para realizar a homotetia.
• Trabalhe duas questões básicas a respeito de ho-
motetia com os estudantes. 
 > A imagem de uma reta é uma reta.
 > Retas paralelas são transformadas em retas pa-
ralelas.
• Somente após esclarecer as propriedades citadas, 
podemos dizer que a imagem de um paralelogramo 
por homotetia é também um paralelogramo.
https://www.geogebra.org
C1
B1
B
C
O
A
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O
C1
A1 B1
B
A
D C
D1
2 m
6 m
65°
115°
5 m 5 m
5 m
60° 60°
60°
O
C1
A1 B1
BA
D C
D1
D
A B
C
7 cm
3 cm
4 cm
45°
135°
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3 cm
3 cm
4 cm
138°
86°
136°
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 14. Reproduza, no caderno, cada polígono 
a seguir. Feito isso, reduza-os por ho-
motetia na razão de semelhança 1 : 4 .
A.
B.
 15. Em cada figura a seguir, houve uma am-
pliação da original. Utilizando uma ré-
gua, realize as medições necessárias e 
determine a razão de semelhança de 
cada homotetia.
A.
B.
C.
 13. Reproduza, no caderno, os polígonos a 
seguir. Feito isso, amplie-os por homo-
tetia na razão de semelhança 3 : 1 .
A.
B.
14. Sugestão de resposta na seção Resoluções.
13. Sugestão de resposta na seção Resoluções.
15. Respostas: A. 2; B. 2,5; 
C. Aproximadamente 1,5.
76
• As atividades 13 e 14 requerem 
que os estudantes ampliem e re-
duzam polígonos por homotetia. 
Aproveite para solicitar a eles que 
se organizem em duplas e conver-
sem entre si, de modo a compar-
tilhar as estratégias utilizadas. Por 
fim, analise se utilizaram a razão de 
semelhança correta. 
• A atividade 15 requer o cálculo 
da razão por homotetia por medi-
ção, utilizando régua para obter as 
medidas dos comprimentos dos la-
dos dos polígonos. Aproveite para 
incentivá-los a obter a medida mais 
exata possível. 
2,5 cm 3,125 cm
3,75 cm
C
A B
82,9°
55,8° 41,3°
2 cm 2,5 cm
3 cm
C1
A1 B1
82,9°
55,8° 41,3°
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Triângulos semelhantes
Estudamos anteriormente que dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simul-
taneamente, as seguintes condições.
 • As medidas de comprimento dos respectivos lados são proporcionais.
 • Os respectivos ângulos internos são congruentes.
Para compreender melhor, acompanhe, por exemplo, como podemos verificar se os 
triân gulos a seguir são semelhantes.
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Nos triângulos, todos os respectivos lados apresentam medidas proporcionais e todos os 
respectivos ângulos internos são congruentes.
 
med (B ̂ A C) = med ( B 1 ̂ A 1 C 1 ) = 55,8° 
 
med (A ̂ B C) = med ( A 1 ̂ B 1 C 1 ) = 41,3° 
 
med (A ̂ C B) = med ( A 1 ̂ C 1 B 1 ) = 82,9° 
 AB _ A 1 B 1 
 = BC _ B 1 C 1 
 = AC _ A 1 C 1 
 = 1,25 
Portanto, como ambas as condições foram satisfeitas, os triângulos ABC e A 1 B 1 C 1 são se-
melhantes, com razão de semelhança 1,25. Essa semelhança é representada por: 
Quando dois triângulos têm seus respectivos ângulos internos congruentes, 
eles são semelhantes.
A notação ABC ∼ A 1 B 1 C 1 também indica que esses 
triângulos são semelhantes.
Atenção!
No entanto, para determinar se dois triângulos são semelhantes, não é necessário com-
parar as medidas de todos os seus ângulos internos e as medidas de comprimento de 
todos os seus lados. Existem casos em que é possível verificar se dois triângulos são se-
melhantes levando em consideração apenas alguns de seus elementos. 
Vamos conhecer os casos de semelhança de triângulos que estabelecem condições ne-
cessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
1º caso de semelhança ( AAA )
 △ABC ∼ △ A 1 B 1 C 1 
77
• Antes de apresentar o conteúdo 
desta página, verifique o conheci-
mento dos estudantes relacionado 
a triângulos. Permita que eles deem 
suas explicações e conversem entre 
si, tendo a oportunidade de resga-
tar o conhecimento prévio sobre 
o assunto e tornar o estudo mais 
significativo. Além disso, avalie a ne-
cessidade de retomar com eles os 
casos de congruência de triângulo, 
estudados no ano anterior.
• Ao estudar a semelhança de po-
lígonos e a transformação pela ho-
motetia, os estudantes serão ca-
pazes de reconhecer as condições 
necessárias e suficientes para que 
dois triângulos sejam semelhan-
tes, o que desenvolve a habilidade 
EF09MA12 da BNCC. 
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78
Demonstração: Vamos mostrar que, se nos triângulos ABC e DEF temos A ̂ B C ≅ D ̂ E F , 
 B ̂ C A ≅ E ̂ F D e B ̂ A C ≅ E ̂ D F , então os triângulos ABC e DEF são semelhantes.
A
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Marque um pontoP sobre o lado ‾ BC do triângulo ABC , de maneira que ‾ EF ≅ ‾ BP , e trace 
o segmento PQ paralelo ao lado ‾ AC do triângulo.
A
D
C FB
Q
P E
De acordo com as imagens, verificamos que A ̂ C P ≅ Q ̂ P B , pois são ângulos corresponden-
tes de paralelas cortadas por uma transversal. Já pelo caso ALA de congruência de triângu-
los, temos △DEF ≅ △QBP .
Pelo teorema de Tales, temos:
 BQ _ BA = BP _ BC 
Como △DEF ≅ △QBP , segue que ED _ BA = EF _ BC .
Seguindo o mesmo procedimento, marque um ponto M sobre o lado ‾ AC do triângulo 
ABC , de maneira que ‾ DF ≅ ‾ MC , e trace o segmento ‾ MN que seja paralelo ao lado ‾ AB .
Assim, pelo teorema de Tales, temos:
 MC _ AC = NC _ BC 
Como △DEF ≅ △MNC , pelo caso ALA de con gruên cia de triângulo, temos:
 DF _ AC = EF _ BC 
Logo, ED _ BA = EF _ BC = DF _ AC . Portanto, △ABC ∼ △DEF .
Lembre-se de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180° . 
Desse modo, conhecendo as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo, 
podemos determinar a medida do terceiro ângulo interno.
Atenção!
Agora, com base em exemplos, vamos estudar outros dois casos de semelhança de 
triângulos.
78
• Avalie a necessidade de explo-
rar na lousa o passo a passo da 
demonstração apresentada nesta 
página, de modo que os estudan-
tes possam sanar as dúvidas que 
tiverem.
40° 40°
6 cm
3 cm
2 cm 4 cm
F
C
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CB
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5 cm 4 cm
6 cm
9 cm
6 cm7,5 cm
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79
De acordo com as imagens, verificamos que AB _ DE = BC _ EF = AC _ DF = 1,5 . Portanto, os triângulos 
ABC e DEF são semelhantes, com razão de semelhança 1,5.
2º caso de semelhança ( LAL )
Quando dois triângulos apresentam dois dos respectivos lados com 
medidas de comprimento proporcionais e os ângulos formados entre 
eles são congruentes, esses triângulos são semelhantes.
Considerando esse caso, para que dois triângulos sejam semelhantes, é suficiente verifi-
carmos a proporcionalidade entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes 
e a congruência entre os ângulos formados por eles.
Para compreender melhor, analise os seguintes triângulos.
Podemos verificar que DF _ AC = DE _ AB = 2 e med (B ̂ A C) = med (E ̂ D F) = 40° . Portanto, os triân-
gulos ABC e DEF são semelhantes.
3º caso de semelhança ( LLL )
Quando dois triângulos têm as medidas de comprimento dos lados 
correspondentes proporcionais, eles são semelhantes.
Levando em consideração esse caso, para que dois triângulos sejam semelhantes, é su-
ficiente verificarmos a proporcionalidade entre as medidas de comprimento de seus lados 
correspondentes.
Considere os triângulos a seguir.
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79
Complemente o trabalho desen-
volvido com os conteúdos do caso 
LAL propondo aos estudantes a ati-
vidade a seguir. Para isso, reproduza 
a figura na lousa, a fim de que eles 
efetuem os cálculos no caderno.
• Na figura a seguir, tem-se 
 AB = 2 √ 
_
 3 m , AC = BD = √ 
_
 3 m , 
BC = 3 m , BE = 2 m . Verifique se 
 △ABC ∼ △EBD. 
Atividade a mais
Resolução e comentários
Podemos verificar que:
 > med ( A ̂ C B) = med ( E ̂ D B) 
 > BD _ BC = BE _ AB 
 √ 
_
 3 _ 3 = 2 _ 
2 √ 
_
 3 
 
2 √ 
_
 3 2 = 6
6 = 6 
Portanto, pelo caso LAL, △ABC e 
△EBD são semelhantes.
Obtenha informações sobre ava-
liações no tópico Avaliação, nas 
orientações gerais deste manual.
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C
D
E
B
53° 53°
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C
5 cm
53°
74°
ED
F
3,75 cm
60°
60°
E
B
A
C
D
18 cm
24 cm
35°
35°
18°
18°
B
F
E
D
C
A
6,48 cm60°
60°
4 cm
6 cm
8 cm5 cm
4,8 cm
4 cm
2,4 cm
2,5 cm
3,25 cm
60° 60°
3 cm
4,5 cm
R
ep
ro
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 d
e 
19
98
.
80
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 16. Verifique se os triângulos ABC e DEF a 
seguir são semelhantes. Em caso afir-
mativo, determine a razão de seme-
lhança entre eles.
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U
ST
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ÇÕ
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L 
L.
 G
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L.
 G
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L 
L.
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 L
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O
 D
A 
ED
IT
O
RA
 17. Na imagem a seguir, estão representados 
dois triângulos. Considere que B é um 
ponto dos segmentos CD e AE.
a ) Junte-se a um colega para medir os 
lados desses triângulos usando ré-
gua. Eles são semelhantes? Justifique 
sua resposta.
b ) Caso sejam semelhantes, qual é a 
razão de semelhança entre os triân-
gulos ABC e DEB?
 18. Analise os triângulos ABC e DEF a seguir.
a ) Esses triângulos são semelhantes?
b ) Se a resposta ao item anterior for 
sim, determine:
 • a razão de semelhança entre ABC 
e DEF .
 • o caso de semelhança.
 19. Analisando as figuras apresentadas a 
seguir, identifique os pares de triângu-
los semelhantes e indique os casos de 
semelhança.
B.
E.
A.
C.
F.
D.
16. Respostas: 
Os triângulos são 
semelhantes com 
razão de semelhança 
 5 _ 3,75 = 4 _ 3 .
17. a) Resposta: Sim, pois são triângulos equiláteros. Polígonos regulares com a mesma quantidade de 
lados são sempre semelhantes entre si.
17. b) Resposta: 4,1 _ 2,7 = 41 _ 27 .
18. Respostas: a) Sim; 
b) 24 _ 18 = 4 _ 3 ; AAA .
19. Respostas: A e D pelo 
caso AAA ; B e E pelo caso 
LLL ; C e F pelo caso LAL .
80
• A atividade 16 requer que os 
estudantes considerem as infor-
mações dadas para as medidas de 
alguns ângulos dos triângulos, bem 
como algumas medidas de compri-
mento de seus lados. Aproveite pa-
ra explorar a propriedade da soma 
das medidas dos ângulos internos 
de triângulos. 
• Na atividade 17, auxilie os estudan-
tes no uso da régua ao fazerem as 
medições, a fim de que obtenham 
as medidas corretas. No item a, ao 
pedir a eles que juntem-se a um 
colega e que justifiquem a respos-
ta, converse sobre o pluralismo de 
ideias e a importância de buscar 
dados científicos para saber mais 
a respeito de determinado tema. 
Incentive-os a expor suas opiniões 
e a respeitar as dos demais, exerci-
tando a empatia e o diálogo. Desse 
modo, promove-se a Competên-
cia geral 9.
• A atividade 18 oportuniza que os 
estudantes desenvolvam o pensa-
mento computacional. Esse pen-
samento inclui a decomposição do 
problema em partes menores, o re-
conhecimento de padrões, a análise 
dos dados e a solução do problema, 
utilizando os elementos obtidos 
nos processos anteriores. Obtenha 
informações a respeito do pensa-
mento computacional nas orien-
tações gerais deste manual.
• Na atividade 19, aproveite para 
incentivar a investigação, o levanta-
mento e a testagem de hipóteses, 
fazendo observações sistemáti-
cas sobre aspectos quantitativos 
e qualitativos, o que favorece o 
desenvolvimento de aspectos da 
Competência específica de Mate-
mática 4.
5 m
4,5 m
I
G H
6,5 m
6 m
O
NM
3,6 m
R
P Q
x
4,5 m CA
B
x
4,6 m
3 m
F
D E
3,6 m
L
x
J K
3 m
5 m
6,4 m
8 m
y
x
5 m
3,5 m
3,5 m
3 my x
A
D
CEB
R I
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45 cm
15 cm
E
M
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81
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 21. Em cada item, calcule as medidas x e y 
sabendo que os triângulos são seme-
lhantes.
 20. Sabendo que em cada item a seguir os 
triângulos isósceles são semelhantes, 
determine o valor de x.
A.
B.
C.
 △GHI ∼ △JKL 
 △MNO ∼ △PQR 
 △ABC ∼ △DEF 
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L.
 G
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RA
Qual é a medida, em cm, do lado ‾ RE ?
a ) 15 b ) 20 c ) 24 d ) 36
A.
B.
 22. Considere as informações referentes à 
figura a seguir.
 • △ABC ∼ △EDC 
 • AB = 3 cm 
 • BC = 5 cm 
 • DE = 1,5 cm 
Qual é a medida do comprimento do 
segmento de reta CD ?
 23. (Saresp-2007) Os triângulos MEU e REI 
são semelhantes, com ‾ UM / / 
_
 RI . O lado 
 ‾ ME mede 12 m .
20. Respostas: A. 4 m ; B. 3,9 m ; C. 6,9 m .
21. Respostas: 
A. x = 4 m e 
y = 4,8 m ; 
b) x = 2,45 m 
e y ≃ 4,3 m .
22. Resposta: 2,5 cm .
23. Resposta: Alternativa d.
81
• Nas atividades 20 e 21, aproveite 
para incentivar o uso da calculado-
ra na realização dos cálculos. As-
sim, ao oportunizar a utilização de 
tecnologias, desenvolvem-se aspec-
tos da Competência específica de 
Matemática 5.
Além disso, avalie a conveniência de 
organizar os estudantes em duplas 
para que conversem entre si e com-
partilhem as estratégias utilizadas.
• Para a realização da atividade 22, 
sugira aos estudantes que constru-
am em folha de papel avulsa os dois 
triângulos, a fim de constatar que os 
ângulos B ̂ A C e D ̂ E C são retos.
• A atividade 23 pode ser utilizada 
para uma avalição oral. Para isso, 
sugira que, em duplas, os estudantes 
a resolvam e, depois, apresentem 
a resolução para outra dupla. Por 
fim, verifique se resolveram corre-
tamente.
Explique aos estudantes que, por 
se tratar de uma atividade de prova 
oficial, não inserimos a palavra com-
primento nela. Nesse caso, oriente-
-os a considerar que os termos me-
de e medida indicam a medida de 
comprimento dos lados ‾ ME e ‾ RE , 
respectivamente.
• Para desenvolver o trabalho com 
a atividade 22, avalie a possibilidade 
de utilizar a metodologia ativa Pen-
samento do design. 
• No fim do trabalho com as ativi-
dades desta unidade, avalie a pos-
sibilidade de utilizar a metodologia 
ativa Escrita rápida. 
Obtenha informações sobre es-
sas metodologias no tópico Meto-
dologias e estratégias ativas, nas 
orientações gerais deste manual.
Metodologias ativas
3,5 cm
2 cm2 cm
3,5 cm
CD
A B
75°
75°
105°
105°
4 cm
4 cm
4 cm
60°
60°60°
E F
G
4,5 cm
4,5 cm 40°
4 cm
5 cm
40°
7 cm
5 cm
3 cm
5,25 cm
3,75 cm
2,25 cm
48°37° 48°
95°
6,5 dm 5,2 dm
4,8 cm
3 cm
2,4 cm
1,5 cm
4,4 cm
6,4 cm
8,2 cm
3,8 cm
4,1 cm
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 d
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 d
e 
19
98
.
82
 3. Em uma folha de papel avulsa, por 
homotetia, faça a ampliação dos po-
lígonos a seguir na razão 2 : 1 .
 4. Determine se os triângulos indicados 
em cada item são semelhantes. Para 
isso, justifique sua resposta.
 1. Sabendo que os pares de polígonos de 
cada quadro a seguir são semelhantes, 
calcule, em uma folha de papel avulsa, a 
medida do perímetro de cada polígono.
 2. Analise os hexágonos regulares a 
seguir. 
a ) Esses hexágonos são semelhantes?
b ) Qual é a razão de semelhança en-
tre os hexágonos A e B?
c ) Qual é a razão da medida do pe-
rímetro do hexágono A em rela-
ção a do hexágono B?
d ) Qual é a relação entre as razões 
obtidas nos itens b e c? Isso tam-
bém acontece com outros polígo-
nos regulares?
O que eu estudei?
Faça as atividades em uma 
folha de papel avulsa.
A. 1. 2.
A.
1. 2.
IL
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ST
RA
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ES
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L 
L.
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B.
B.
A.
A.
B.
B.
C.
2. a) Resposta: Sim.
2. b) Resposta: 6,5 _ 5,2 = 1,25 .
2. c) Resposta: 39 _ 31,2 = 1,25 .
2. d) Resposta: São 
iguais; Sim.
4. Resposta: A. Não são semelhantes, pois os lados correspondentes não são proporcionais; B. São 
semelhantes pelo critério LLL ; C. São semelhantes pelo critério AAA .
3. Sugestão 
de resposta 
na seção 
Resoluções.
1. Respostas: A. 1 = 26,6 cm ; 2 = 13,3 cm ; 
B. 1 = 15,6 cm ; 2 = 7,8 cm .
82
1 e 2. Objetivo
• Avaliar a aprendizagem dos estu-
dantes em relação a polígonos se-
melhantes.
Como proceder
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldade, lembre-os de que, em 
polígonos semelhantes, os ângulos 
internos correspondentes são con-
gruentes e as medidas de compri-
mento dos lados correspondentes 
são proporcionais. 
3. Objetivo
• Avaliar se os estudantes utilizam 
homotetia para ampliar um polígono.
Como proceder
• Oriente-os a, para cada item, 
determinar o ponto O e traçar se-
mirretas com origem nesse ponto, 
passando pelos vértices do polígo-
no. Se achar necessário, retome as 
explicações da página 74.
4. Objetivo
• Conferir se os estudantes reco-
nhecem pares de triângulos seme-
lhantes.
Como proceder
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldade, peça-lhes que verifi-
quem se o caso de semelhança de 
triângulo que indicaram em cada 
item é satisfeito. Se achar neces-
sário, retome as explicações das 
páginas 71, 74 e 75, além das pági-
nas 77 a 79.