Mostre que a equação x³-4x+x+3=0 tem raiz entre 1 e 2

Vou assumir que está faltando o expoente do segundo termo da esquerda para a direita, e que portanto 

f(x) = x³ - 4x² + x + 3.

Temos que 

f(1) = 1 

e

f(2) = -3.

Como f é polinomial e portanto contínua no intervalo [1,2], pelo teorema do valor intermediário, para qualquer ponto d, com f(1) ≥ d ≥ f(2), existe um c ∈ [1,2] tal que f(c) = d. Tomemos em particular d = 0, já que f(1) ≥ 0 ≥ f(2). Logo existe c ∈ [1,2] tal que f(c) = 0. Temos então que c é uma raiz entre 1 e 2. 

Vlw, acho que era só o expoente que faltava msm

A equação correta, para termos raízes, é:
\(\[\begin{align} & f\left( x \right)\text{ }=\text{ }x{}^\text{3}\text{ }-\text{ }4x{}^\text{2}\text{ }+\text{ }x\text{ }+\text{ }3 \\ & f\text{ }\left( 1;2 \right)\text{ }=\text{ }1;\text{ }-3 \\ & f:\text{ }\left[ 1,2 \right] \\ & d\text{ }f\left( 1 \right)~\ge \text{ }d~\ge \text{ }f\left( 2 \right) \\ & c~\in \text{ }\left[ 1,2 \right]\text{ }\to \text{ }f\left( c \right)\text{ }=\text{ }d.\text{ }T \\ & d\text{ }=\text{ }0: \\ & ~f\left( 1 \right)~\ge \text{ }0\text{ }\ge \text{ }f\left( 2 \right). \\ & c~\in \text{ }\left[ 1,2 \right]\text{ }\to \text{ }\left( c \right)\text{ }=\text{ }0. \\ \end{align}\] \)

Log, prova-se que c é uma raiz entre 1 e 2.