2 - Determine o máximo e mínimo das funções a baixo:

Deixa eu ver se posso te ajudar,uma equação trigonométrica é uma equação contendo uma ou mais funções trigonométricas da variável trigonométrica arc x. Resolver o valor de x significa encontrar os valores dos arcos trigonométricos cujas funções trigonométricas tornam a equação verdadeira.

• Respostas, ou valores dos arcos de solução, são expressos em graus ou radianos. Exemplos:

x = Pi/3 ; x = 5Pi/6 ; x = 3Pi/2 ; x = 45º. ; x = 37.12º. ; x = 178.37º.

• Nota: no círculo unitário trigonométrico, as funções trigonométricas de qualquer arco são as mesmas funções trigonométricas do ângulo correspondente. O círculo trigonométrico define todas as funções da variável arc x. Ele também é utilizado como prova da solução de equações e inequações trigonométricas básicas.
• Exemplos de equações trigonométricas:
  • sen x + sen 2x = 1/2  ; tg x + cot x = 1.732  ;
  • cos 3x + sen 2x = cos x  ; 2sen 2x + cos x = 1 .

1. O círculo trigonométrico.
   • É um círculo com Raio = 1 unidade, tendo 0 como origem. É o círculo de unidade trigonométrica que define as 4 principais funções trigonométricas da variável arc x que gira no sentido anti-horário nele.
   • Quando o arco, com valor x, varia em um círculo trigonométrico:
   • O eixo horizontal 0Ax define a função trigonométrica f(x) = cos x.
   • O eixo vertical 0By define a função trigonométrica f(x) = sen x.
   • O eixo vertical AT define a função trigonométrica f(x) = tg x.
   • O eixo horizontal BU define a função trigonométrica f(x) = cot x.

• O círculo trigonométrico também é usado para resolver equações e inequações trigonométricas básicas considerando as diversas posições de arc x neste círculo.

Jermaine, boa tarde!

Vamos ver se consigo te ajudar! :)

f(x)=3sen(2x)+4cos(2x)

Para encontrar os pontos de máximo ou mínimo precisamos antes identificar os pontos críticos, que são os pontos onde a derivada não existe ou os pontos onde a derivada vale zero.

df(x)/dx=3cos(2x)(2)-4sen(2x)(2)

Igualando a zero, teremos:

6cos(2x)-8sen(2x)=0

8sen(2x)=6cos(2x)

sen(2x)/cos(2x)=6/8

tan(2x)=3/4

Desenhando um triângulo, ficará fácil encontrarmos os valores que satisfazem o x em forma de seno e cosseno.

           /|

        /   |

      /     |

5  /       | 3

  /         |

/ ) 2x     |

-----------

      4

Então, pelo triângulo retângulo podemos rapidamente tirar:

sen(2x)=3/5 e cos(2x)=4/5

Como a tangente é positiva, podemos ter os valores de seno e cosseno ambos negativos também (3o. quadrante)

sen(2x)=-3/5 e cos(2x)=-4/5

Seriam estes os dois valores para sen e cos de forma a satisfazer a hipótese dos pontos críticos.

Substituindo em f(x) encontraremos rapidamente quem são os pontos de máximo e mínimo.

f(x)=3sen(2x)+4cos(2x)=3*(3/5)+4*(4/5)=9/5+16/5=25/5=5

f(x)=3sen(2x)+4cos(2x)=3*(-3/5)+4*(-4/5)=-9/5-16/5=-25/5=-5

Pode-se provar que estes valores são o máximo e mínimo fazendo o teste da derivada segunda.

df(x)/dx=3cos(2x)(2)-4sen(2x)(2)

f'(x)=6cos(2x)-8sen(2x)

f''(x)=6(-sen(2x))(2)-8(cos(2x))(2)

f''(x)=-12sen(2x)-16cos(2x)

Para os valores de sen(2x)=3/5 e cos(2x)=4/5, positivos, ao substituir na f''(x) chegamos em:

f''(x)=-12*(3/5)-16*(4/5)=-36/5-64/5=-100/5=-20, negativo, ponto de MÁXIMO

Para os valores de sen(2x)=-3/5 e cos(2x)=-4/5, negativos, ao substituir na f''(x) chegamos em:

f''(x)=-12*(-3/5)-16*(-4/5)=36/5+64/5=100/5=20, positivo, ponto de MÍNIMO.

Espero ter ajudado :)