Como calcular esperança matemática

Para resumir dados quantitativos aproximadamente simétricos, é usual calcular a média aritmética como uma medida de locação. Se  são os valores dos dados, então podemos escrever a média como

onde ` ' e frequentemente é simplificada para  ou até mesmo  que significa `adicione todos os valores de '.

Em Estatística, em teoria das probabilidades, o valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância, de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade de saída da experiência multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.

Esperança de uma variável aleatória

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis  e com as suas probabilidades representadas pela função , o valor esperado calcula-se pela série:

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade :

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

e

Deve-se notar que, no caso geral,  não comuta com a função g, ou seja:

Propriedades do valor esperado

Nas seguintes propriedades,  são variáveis aleatórias,  são constantes.

E para duas variáveis aleatórias: