função custo

Tem-se que a função de demanda de um produto é dada por: 

p = 30 - x . (I) 

O custo variável por cada unidade produzida é igual a R$ 5,00. Sabendo-se que o governo cobra do produtor um imposto de R$ 3,00 sobre cada unidade vendida, pergunta-se qual o preço deve ser cobrado para maximizar o lucro do produtor. 

Veja que as vendas da empresa são dadas pela receita produzida com a venda dos produtos. Chamando a receita de R(x), temos que: 

R(x) = px . (II)    R(x) é a receita e "p" é o preço e "x" é a quantidade vendida. 

Mas veja que, conforme (I), "p" é igual a 30-x. Então, vamos substituir, na igualdade (II), o valor de "p" por "30-x". Com isso, ficamos: 

R(x) = (30-x)x 
R(x) = 30x - x² 
R(x) = -x² + 30x . (III). 

Por sua vez, o lucro, que vamos chamar de L(x), é igual à receita menos os custos. Com isso, temos: 

L(x) = R(x) - C . (IV) ------R(x) é a receita e "C" são os custos. 

Como os custos são: R$ 5,00 de custo variável + R$ 3,00 de imposto por unidade vendida, então os custos são = R$ 8,00. Assim, substituindo "C" por R$ 8,00. 

Então, o nosso L(x) ficará: 

L(x) = R(x) - 8

Sabemos que R(x) = -x² + 30x, conforme (III). Então: 

L(x) = -x² + 30x - 8 

A nossa equação de L(x) acima tem os seguintes coeficientes: 

a = -1 -----(é o coeficiente de x²) 
b = 30 ----(é o coeficiente de x) 
c = -8 ----( é o termo independente). 

Veja que o lucro máximo vai ser dado pelo "y" do vértice do gráfico parabólico da função, que vai ter um máximo, já que o termo "a" é negativo. O "y" do vértice é dado pela seguinte fórmula: 

yv = -(delta)/4a ----> -(b²-4ac)/4a -------Assim, fazendo as devidas substituições, temos: 

yv = -[30² - 4.(-1).(-8] / 4*(-1) 
yv = -[900 - 32]/-4 
yv = -[868]/-4 
yv = -868/-4 
yv = 868/4 
yv = 217 <------Esse é o lucro máximo da empresa. 

Agora, vamos saber qual a quantidade de produtos vendidos que dá esse lucro máximo. Para saber isso, você procura o "x" do vértice. É o "x" do vértice que vai dar a quantidade que proporciona o lucro máximo ao produtor. O "x" do vértice é dado pela seguinte fórmula: 

xv = -b/2a -----fazendo as devidas substituições, temos: 
xv = -30/2.(-1) 
xv = -30/-2 
xv = 30/2 
xv = 15 <-----Essa é a quantidade vendida que dá o lucro máximo de R$ 217,00. 

Agora vamos saber qual o preço deve ser cobrado por cada produto, para maximizar o lucro do produtor. Para isso, basta que dividamos o lucro máximo pela quantidade que dá esse lucro máximo. Então: 

217/15 = 14,47