Transformação Linear

Sendo \(a\), \(b\) e \(c\) constantes, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow (x,y,z) = a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0)\)

\(\Longrightarrow (x,y,z) = (a,a,a) + (b,b,0) + (c,0,0)\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a+b+c = x \\ a+b=y \\ a=z \end{matrix} \right.\)

Com isso, as constantes podem ser escritas da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a=z \\ b=y-z \\ c = x-y \end{matrix} \right.\)

Portanto, a equação inicial fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (x,y,z) = z(1,1,1) + (y-z)(1,1,0) + (x-y)(1,0,0)\)

Aplicando a transformação linear na equação anterior, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow T(x,y,z) = z\cdot T(1,1,1) + (y-z)\cdot T(1,1,0) + (x-y)\cdot T(1,0,0) \)

\(\Longrightarrow T(x,y,z)= z\cdot (1,2)+ (y-z)\cdot (2,3) + (x-y)\cdot (3,4)\)

\(\Longrightarrow T(x,y,z)= (z,2z)+ (2y-2z,3y-3z) + (3x-3y,4x-4y)\)

\(\Longrightarrow T(x,y,z)= (z+2y-2z+3x-3y, \, 2z + 3y-3z + 4x - 4y )\)

\(\Longrightarrow \underline { T(x,y,z)= (3x-y-z, \,4x-y -z )}\)

a)

Portanto, a transformação linear é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ T(x,y,z)= (3x-y-z, \,4x-y -z ) $}\)

b)

Para \( T(v)= (-3,-2)\), tem-se o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 3x_v-y_v-z_v = -3 & (I)\\ 4x_v-y_v-z_v = -2 & (II)\end{matrix} \right.\)

Realizando a subtração \((II)-(I)\), o valor de \(x_v\) é:

\(\Longrightarrow (4x_v-y_v-z_v) - (3x_v-y_v-z_v)= (-2)-(-3)\)

\(\Longrightarrow\underline { x_v= 1}\)

Substituindo o valor \( x_v= 1\) na equação \((I)\), o valor de \(z_v\) é:

\(\Longrightarrow 3\cdot 1-y_v-z_v = -3\)

\(\Longrightarrow -y_v-z_v = -6\)

\(\Longrightarrow -z_v = y_v-6\)

\(\Longrightarrow \underline { z_v = -y_v+6 }\)

Portanto, para \( T(v)= (-3,-2)\), o vetor \(v=(x_v,y_v,z_v)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ v=(1, \,\,\, y_v, \, -y_v + 6) , \,\,\, y_v \in \mathbb{R} $}\)

c)

Para \( T(v)= (0,0)\), tem-se o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 3x_v-y_v-z_v = 0 & (III)\\ 4x_v-y_v-z_v = 0 & (IV)\end{matrix} \right.\)

Realizando a subtração \((IV) - (III)\), o valor de \(x_v\) é:

\(\Longrightarrow (4x_v-y_v-z_v) - (3x_v-y_v-z_v)= (0)-(0)\)

\(\Longrightarrow\underline { x_v= 0}\)

Substituindo o valor \( x_v= 0\) na equação \((III)\), o valor de \(z_v\) é:

\(\Longrightarrow 3\cdot 0-y_v-z_v = 0\)

\(\Longrightarrow -y_v-z_v = 0\)

\(\Longrightarrow -z_v = y_v\)

\(\Longrightarrow \underline { z_v = -y_v}\)

Portanto, para \( T(v)= (0,0)\), o vetor \(v=(x_v,y_v,z_v)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ v=(0, \,\, y_v, \, -y_v ) , \,\,\, y_v \in \mathbb{R} $}\)