Em um dado sistema cartesiano, têm-se os pontos A(0,4), B(3,-2) e C(-3,-2) que define uma região geométrica.

A(0,4), B(3,-2) , C(-3,-2)

AB = B - A = (3 - 0, -2 - 4) = (3, -6)

lABl² = l3² + 6²l = l45l
AB = 3√5 

BC = C - B = (3 + 3, -2 + 2) = (6. 0)

lBCl² = l6l² = l36l
BC = 6 

AC = C - A = (-3 -0, -2 - 4) = (-3, -6)

lACl² = l3² + 6²l = l45l
AC = 3√5 

perimetro
P = AB + BC + AC
P = 2√5  + 6 + 2√5 
P = 6 + 4√5 

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Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Geometria Analítica.

Dado os pontos \(\text A(0,\text{ }4)\), \(\text B(3,\text{ }-2)\) e \(\text C(-3,\text{ }-2)\), determina-se os vetores \(\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\text{BC}}\) e \(\vec{\text{CA}}\) calculando a diferença entre as coordenadas dos pontos que formam o vetor. Logo:

\(\begin{align} \vec{\text{AB}}&=(3-0,\text{ }-2-4) \\&=(3,\text{ }-6) \\ \vec{\text{BC}}&=(-3-3,\text{ }-2-(-2)) \\&=(-6,\text{ }0) \\ \vec{\text{CA}}&=(0-(-3),\text{ }4-(-2)) \\&=(3,\text{ }6) \end{align}\)

Em seguida, lembrando que o comprimento de um vetor (também denominado de módulo) consiste na raiz quadrada do somatório de suas coordenadas ao quadrado, calcula-se o comprimento de cada vetor:

\(\begin{align} |\vec{\text{AB}}|&=\sqrt{3^2+(-6)^2} \\&=\sqrt{9+36} \\&=\sqrt{45} \\&\approx6,71\\ \\ |\vec{\text{BC}}|&=\sqrt{(-6)^2+0^2} \\&=\sqrt{36+0} \\&=\sqrt{36} \\&=6 \\\\ |\vec{\text{CA}}|&=\sqrt{3^2+6^2} \\&=\sqrt{9+36} \\&=\sqrt{45} \\&\approx6,71 \end{align} \)

Finalmente, tem-se que o perímetro \((P)\) da região delimitada pelos vetores \(\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\text{BC}}\) e \(\vec{\text{CA}}\) consiste na soma dos módulos dos mesmos, logo:

\(\begin{align} P&=|\vec{\text{AB}}|+|\vec{\text{BC}}|+|\vec{\text{CA}}| \\&=6,71+6+6,71 \\&=19,42 \end{align}\)

Portanto, o perímetro definido pelos pontos \(\text A(0,\text{ }4)\), \(\text B(3,\text{ }-2)\) e \(\text C(-3,\text{ }-2)\) é igual a \(\boxed{19,42}\).

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