como se faz q (2x-y+1) dx-(x+3y-2)eu=0

(2x-y+1)dx +(-x-3y+2)dy=0 

M= 2x -y +1 ---> dM/dy = -1 
N= -x-3y+2 ---> dN/dx = -1 ... ----> EDO exata 

logo ---> df/dx = M = 2x-y +1 ---> f = x²- xy +x +C(y) 

df/dy = 0 - x +0+ C' = -x -3y +2 ---> C'= -3y+2 ---> C(y) = -(3/2).y² +2y 

f(x,y) = x² -xy +x -(3/2).y² +2y 

uma solução ---> x² -xy +x -(3/2).y² +2y = k , k= constante

Para resolvermos a equação dada, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{array}{l} \left( {2x - y + 1} \right)dx - \left( {x + 3y - 2} \right)dy = 0\;\\ \left( {2x - y + 1} \right)dx{\rm{ }} + \left( { - x - 3y + 2} \right)dy = 0\;\\ \\ M = {\rm{ }}2x{\rm{ }} - y{\rm{ }} + 1{\rm{ }} - - > {\rm{ }}dM/dy{\rm{ }} = {\rm{ }} - 1\\ N = {\rm{ }} - x - 3y + 2{\rm{ }} - - - > {\rm{ }}dN/dx{\rm{ }} = {\rm{ }} - 1\;\\ \\ logo{\rm{ }} - - > {\rm{ }}df/dx{\rm{ }} = {\rm{ }}M{\rm{ }}\\ {\rm{M}} = {\rm{ }}2x - y{\rm{ }} + 1{\rm{ }}\\ {\rm{ }}f{\rm{ }} = {\rm{ }}x - {\rm{ }}xy{\rm{ }} + x{\rm{ }} + C\left( y \right)\;\\ \\ df/dy{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} - {\rm{ }}x{\rm{ }} + 0 + {\rm{ }}C'{\rm{ }}\\ df/dy{\rm{ }} = {\rm{ }} - x{\rm{ }} - 3y{\rm{ }} + 2{\rm{ }}\\ {\rm{ }}C' = {\rm{ }} - 3y + 2{\rm{ }}\\ {\rm{ }}C\left( y \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - \left( {3/2} \right).y{\rm{ }} + 2y\\ f\left( {x,y} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} - xy{\rm{ }} + x{\rm{ }} - \left( {3/2} \right).y{\rm{ }} + 2y\\ \;x{\rm{ }} - xy{\rm{ }} + x{\rm{ }} - \left( {3/2} \right).y{\rm{ }} + 2y{\rm{ }} = {\rm{ }}k\; \end{array}\)

Portanto, a solução será \(k = \;x{\rm{ }} - xy{\rm{ }} + x{\rm{ }} - \left( {3/2} \right).y{\rm{ }} + 2y\;\).