Quanto tempo a sonda atinge o solo

Vamos lá...

Nomenclaturas:

P = peso.
m = massa.
g = gravidade.
Fr = força resultante.
a = aceleração.
t = tempo.
S = posição.
So = posição inicial.
Vo = velocidade inicial.

Aplicação:

Observe que o exercício nos informa que a sonda espacial cai verticalmente em relação a superfície terrestre, desta forma, podemos concluir, desprezando as forças dissipativas, que no corpo age somente a força peso sendo, a mesma, a força resultante. Para darmos sequência aos cálculos, devemos converter a unidade de comprimento de quilometros para metros.

Sabendo que a força resultante equivale a força peso, podemos encontrar o módulo da aceleração da sonda aplicando Segunda Lei de Newton, veja:

Agora que possuímos o valor da aceleração devemos aplicar a função da posição em MRUV, para encontrarmos o valor do tempo, assim:

Portanto, o tempo, aproximado, em que a sonda gastará para chegar a superfície terrestre, equivale a 17,23 segundos.

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Será considerado com sentido positivo o sentido de baixo para cima. Portanto, desprezando a resistência do ar, a aceleração da sonda é:

\(\Longrightarrow a=-g\)

\(\Longrightarrow a=-10 \, \mathrm{m/s^2}\)

Tem-se a posição inicial \(s_0=17.000 \, \mathrm{m}\) e a velocidade inicial \(v_0 = -900 \, \mathrm{m/s}\). O \(v_0\) possui sinal de menos porque a velocidade de queda é contrária ao sentido positivo.

Portanto, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow s=s_0+v_0t+{a \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow 0=17.000-900t+{(-10) \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow 0=17.000-900t-5t^2\)

\(\Longrightarrow 0=3.400-180t-t^2\)

Utilizando o método de Bhaskara, tem-se \(a=-1\), \(b=-180\) e \(c=3.400\), tem-se os seguintes valores:

\(\Longrightarrow t = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow t = {-(-180) \pm \sqrt{(-180)^2-4\cdot(-1)\cdot 3.400} \over 2\cdot(-1)}\)

\(\Longrightarrow t = {180 \pm 214.476 \over -2}\)   \(\to \left \{ \begin{matrix} t_1 = -197,238 \, \mathrm{s} \\ t_2 = 17,238 \, \mathrm{s} \end{matrix} \right.\)

Como o tempo deve ser positivo, o tempo que a sonda leva para atingir o solo é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ t_2 = 17,238 \, \mathrm{s} $}\)