ajuda preciso resolver essas duas equações diferenciais . y"+4y'+4y=0 y"+25y=0 Ajuda ae por favor.

1.

Sendo \(y(x) = Ae^{\lambda x}\) a solução geral, a equação \(y''+4y'+4y=0\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (Ae^{\lambda x})''+4(Ae^{\lambda x})'+4(Ae^{\lambda x})=0\)

\(\Longrightarrow A\cdot \lambda ^2 e^{\lambda x}+4\cdot \lambda Ae^{\lambda x}+4Ae^{\lambda x}=0\)

\(\Longrightarrow \lambda ^2+4 \lambda+4=0\)

\(\Longrightarrow ( \lambda +2)^2=0\)    \(\to \left \{ \begin{matrix} \lambda_1 = -2 \\ \lambda_2 = -2 \end{matrix} \right.\)

Portanto, a solução geral é \(y(x) = Ae^{\lambda_1 x}+Be^{\lambda_2 x}\). Porém, como \(\lambda_1 = \lambda_2\), deve multiplicar uma das exponenciais por \(x\).

Portanto, a solução fica da seguinte forma:

 \(\Longrightarrow y(x) = Ae^{-2 x}+Bxe^{-2 x}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ y(x) = (A+Bx)e^{-2 x} $}\)

Sendo \(A\) e \(B\) constantes quaisquer.

2.

Sendo \(y(x) = Ce^{\lambda x}\) a solução geral, a equação \(y''+25y=0\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (Ce^{\lambda x})''+25(Ce^{\lambda x})=0\)

\(\Longrightarrow C \cdot \lambda^2e^{\lambda x}+25Ce^{\lambda x}=0\)

\(\Longrightarrow \lambda^2+25=0\)

\(\Longrightarrow \lambda^2=-25\)     \(\to \left \{ \begin{matrix} \lambda_1 = j5 \\ \lambda_2 = -j5 \end{matrix} \right.\)

Sendo \(j=\sqrt{-1}\).

Portanto, a solução geral é \(y(x) = Ce^{\lambda_1 x}+De^{\lambda_2 x}\). Ou seja:

\(\Longrightarrow y(x) = Ce^{j5 x}+De^{-j5 x}\)

\(\Longrightarrow y(x) = C\Big (\cos(5x) + j\sin(5x) \Big )+D\Big (\cos(5x) - j\sin(5x) \Big )\)

\(\Longrightarrow y(x) = (C+D)\cos(5x) +(C-D)j\sin(5x) \)

\(\Longrightarrow \fbox {$ y(x) = E\cos(5x) +F\sin(5x) $}\)

Sendo \(E\) e \(F\) constantes quaisquer.