Alguem consegue resolver para mim por transforma da laplace / y’’ +2y’ -3y =sen(2x) ,y(0)=0 ,y’(0)=0

A transformada de Laplace de \(y\) é \(\mathcal{L}(y) = Y\). Portanto, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \mathcal{L}(y') = sY-y(0) \\ \mathcal{L}(y'') = s^2Y-sy(0)-y'(0) \end{matrix} \right.\)

Além disso, tem-se a seguinte transformada:

\(\Longrightarrow \mathcal{L} \Big (\sin (\omega x) \Big ) ={ \omega \over s^2 + \omega ^2 }\)

\(\Longrightarrow \mathcal{L} \Big (\sin (2 x) \Big ) ={ 2 \over s^2 + 4 }\)

Portanto, aplicando a transformada na equação diferencial \(y''+2y'-3y = \sin(2x)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \mathcal{L}(y''+2y'-3y) = \mathcal{L} \big (\sin(2x) \big )\)

\(\Longrightarrow \Big (s^2Y-sy(0)-y'(0) \Big )+2 \Big (sY-y(0) \Big )-3Y = { 2 \over s^2 + 4 }\)

\(\Longrightarrow \Big (s^2Y-s\cdot 0-0 \Big )+2 \Big (sY-0 \Big )-3Y = { 2 \over s^2 + 4 }\)

\(\Longrightarrow (s^2+2s-3)Y = { 2 \over s^2 + 4 }\)

\(\Longrightarrow Y = { 2 \over (s^2 + 4)(s^2+2s-3) }\)     \((I)\)

O termo \((s^2+2s-3)\) da equação \((I)\) será reduzido pelo método de Bhaskara. Sendo \(a=1\), \(b=2\) e \(c=-3\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow s = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow s = {-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot(-3)} \over 2\cdot 1}\)

\(\Longrightarrow s = {-2 \pm 4 \over 2}\)     \(\to \left \{ \begin{matrix} s_1 = 1 \\ s_2 = -3 \end{matrix} \right.\)

Portanto:

\(\Longrightarrow (s^2+2s-3) = a(s-s_1)(s-s_2)\)

\(\Longrightarrow (s^2+2s-3) = (s-1)(s+3)\)    \((II)\)

Substituindo a equação \((II)\) na equação \((I)\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow Y = { 2 \over (s^2 + 4)(s-1)(s+3) }\)

\(\Longrightarrow Y = { As+B \over (s^2 + 4) }+{ C \over (s-1) } + { D \over (s+3) }\)                  \((III)\)

Agora, tem-se o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow Y = { (As+B)(s-1)(s+3) + C(s^2 + 4)(s+3) + D(s^2 + 4)(s-1) \over (s^2 + 4)(s-1)(s+3) }\)

\(\Longrightarrow Y = { (As+B)(s^2+2s-3) + C(s^3+3s^2+4s+12)+ D (s^3-s^2+4s-4)\over (s^2 + 4)(s-1)(s+3) }\)

\(\Longrightarrow Y = { s^3(A+C+D)+s^2(2A+B+3C-D) + s(-3A+2B+4C+4D) + (-3B+12C-4D)\over (s^2 + 4)(s-1)(s+3) }\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A+C+D=0 \\ 2A+B+3C-D = 0 \\ -3A+2B+4C+4D=0 \\ -3B+12C-4D=2 \end{matrix} \right.\)

Resolvendo o sistema de equações no site https://matrixcalc.org/pt/slu.html, tem-se a seguinte solução:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A=-{4 \over 65} \\ B=-{14 \over 65} \\ C={1\over 10} \\ D=-{1 \over 26} \end{matrix} \right.\)

Substituindo os valores das constantes na equação \((III)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow Y = -{1 \over 65}{ 4s+14 \over (s^2 + 4) }+{1 \over 10}{ 1 \over (s-1) } - {1 \over 26}{ 1 \over (s+3) }\)

\(\Longrightarrow Y ={1 \over 10}{ 1 \over (s-1) } - {1 \over 26}{ 1 \over (s+3) }-{1 \over 65} \bigg [ { 4s \over (s^2 + 4) }+{ 14 \over (s^2 + 4) } \bigg ]\)

\(\Longrightarrow Y ={1 \over 10}{ 1 \over (s-1) } - {1 \over 26}{ 1 \over (s+3) }-{1 \over 65} \bigg [ 4\cdot{ s \over (s^2 + 4) }+7 \cdot { 2 \over (s^2 + 4) } \bigg ]\)     \((IV)\)

Serão aplicadas as seguintes transformadas inversas:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \mathcal{L}^{-1}\Big ( { 1 \over (s-a) } \Big )=e^{ax} \\ \mathcal{L}^{-1} \Big ( { s \over (s^2 + \omega^2) } \Big ) = \cos (\omega x) \\ \mathcal{L} \Big ( { \omega \over (s^2 + \omega^2) } \Big ) = \sin (\omega x)\end{matrix} \right.\)

Portanto, a transformada inversa da equação \((IV)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y ={1 \over 10}e^{x} - {1 \over 26}e^{-3x}-{1 \over 65} \Big [ 4\cos(2x)+7 \sin(2x) \Big ] $}\)