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Como resolver uma equação diferencial?


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Há mais de um mês

Muitas equações diferenciais ordinárias de 1a. ordem podem ser escrita na sua forma normal, dada por:

y' = f(x,y)

Se a função f=f(x,y) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções M=M(x,y) e N=N(x,y), temos:

y' = M(x,y)/N(x,y)

Em geral, usamos o sinal negativo antes de M(x,y):

y' = - M(x,y)/N(x,y)

para poder reescrever:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

 

Exemplos:

  1. A EDO y'=cos(x+y) está na forma normal.

  2. A EDO y'=x/y está em sua forma normal, mas pode ser reescrita na forma diferencial xdx-ydy=0.

 

Equações Separáveis

Seja uma EDO M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Se M é uma função apenas da variável x, isto é M=M(x) e N é função apenas da variável y, isto é N=N(y), então a equação dada fica na forma:

M(x) dx + N(y) dy = 0

e ela é denominada EDO separável. Tal fato é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade somente possua um tipo de variável e assim poderemos realizar a integração de cada membro por um processo bastante "simples".

 

Exemplo: A EDO y'=x/y, que está na forma normal, pode ser reescrita na sua forma diferencial xdx-ydy=0, assim, xdx=ydy, então integrando cada termo independentemente, teremos:

½ x² + C1 = ½ y² + C2

e reunindo as constantes em uma constante C, obtemos:

x²-y² = C

Esta relação satisfaz à EDO dada.

 

Equações Homogêneas

Uma função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, tem-se que:

f(tx,ty) = tk f(x,y)

Uma função f=f(x,y) é homogênea de grau 0 se, para todo t real, se tem que:

f(tx,ty) = f(x,y)

Muitas equações diferenciais ordinárias de 1a. ordem podem ser escrita na sua forma normal, dada por:

y' = f(x,y)

Se a função f=f(x,y) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções M=M(x,y) e N=N(x,y), temos:

y' = M(x,y)/N(x,y)

Em geral, usamos o sinal negativo antes de M(x,y):

y' = - M(x,y)/N(x,y)

para poder reescrever:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

 

Exemplos:

  1. A EDO y'=cos(x+y) está na forma normal.

  2. A EDO y'=x/y está em sua forma normal, mas pode ser reescrita na forma diferencial xdx-ydy=0.

 

Equações Separáveis

Seja uma EDO M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Se M é uma função apenas da variável x, isto é M=M(x) e N é função apenas da variável y, isto é N=N(y), então a equação dada fica na forma:

M(x) dx + N(y) dy = 0

e ela é denominada EDO separável. Tal fato é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade somente possua um tipo de variável e assim poderemos realizar a integração de cada membro por um processo bastante "simples".

 

Exemplo: A EDO y'=x/y, que está na forma normal, pode ser reescrita na sua forma diferencial xdx-ydy=0, assim, xdx=ydy, então integrando cada termo independentemente, teremos:

½ x² + C1 = ½ y² + C2

e reunindo as constantes em uma constante C, obtemos:

x²-y² = C

Esta relação satisfaz à EDO dada.

 

Equações Homogêneas

Uma função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, tem-se que:

f(tx,ty) = tk f(x,y)

Uma função f=f(x,y) é homogênea de grau 0 se, para todo t real, se tem que:

f(tx,ty) = f(x,y)

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