Muitas equações diferenciais ordinárias de 1a. ordem podem ser escrita na sua forma normal, dada por:
y' = f(x,y)
Se a função f=f(x,y) pode ser escrita como o quociente de duas outras funções M=M(x,y) e N=N(x,y), temos:
y' = M(x,y)/N(x,y)
Em geral, usamos o sinal negativo antes de M(x,y):
y' = - M(x,y)/N(x,y)
para poder reescrever:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Exemplos:
A EDO y'=cos(x+y) está na forma normal.
A EDO y'=x/y está em sua forma normal, mas pode ser reescrita na forma diferencial xdx-ydy=0.
Seja uma EDO M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Se M é uma função apenas da variável x, isto é M=M(x) e N é função apenas da variável y, isto é N=N(y), então a equação dada fica na forma:
M(x) dx + N(y) dy = 0
e ela é denominada EDO separável. Tal fato é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade somente possua um tipo de variável e assim poderemos realizar a integração de cada membro por um processo bastante "simples".
Exemplo: A EDO y'=x/y, que está na forma normal, pode ser reescrita na sua forma diferencial xdx-ydy=0, assim, xdx=ydy, então integrando cada termo independentemente, teremos:
½ x² + C1 = ½ y² + C2
e reunindo as constantes em uma constante C, obtemos:
x²-y² = C
Esta relação satisfaz à EDO dada.
Uma função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, tem-se que:
f(tx,ty) = tk f(x,y)
Uma função f=f(x,y) é homogênea de grau 0 se, para todo t real, se tem que:
f(tx,ty) = f(x,y)
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