Qual a integral de e^xcos2e^xdx?

Neste exercício, será resolvida a seguinte integral indefinida:

\(\Longrightarrow \int e^x \cos(2e^x) \, \partial x\)

Vamos criar uma nova variável \(y=2e^x\). Portanto, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow {\partial y \over dx } = { \partial \over \partial x}(2e^x)\)

\(\Longrightarrow \partial y = 2e^x ​​\partial x\)

Portanto, a integral é:

\(\Longrightarrow \int e^x \cos(2e^x) \, \partial x = \int {1 \over 2} \cdot (2e^x) \cos(2e^x) \, \partial x\)

\(\Longrightarrow \int e^x \cos(2e^x) \, \partial x = {1 \over 2} \int \cos y \, \partial y\)

\(\Longrightarrow \int e^x \cos(2e^x) \, \partial x = {1 \over 2} \Big ( \sin y +c \Big )\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int e^x \cos(2e^x) \, \partial x = {1 \over 2} \sin(2e^x) +c $}\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.