Alguém pode explicar a relação ou a diferença entre equidade e analogia?

Olha, vou tentar te responder de uma forma simples: a relação entre a equidade e a analogia é no sentido de que as duas tem como objetivo preencher as lacunas da lei. Entretanto, são coisas diferentes.

A analogia, como o próprio nome diz é algo "análogo ou parecido". Assim, o operador do direito ao de deparar com um caso concreto que tenha uma lacuna, ele se utilizará de norma que rege caso análogo. Exemplo: Art 499 do CC, "É lícita a compra e venda entre cônjuges, com relação a bens excluídos da comunhão." , apesar d alei falar só em conjugês, hoje entende-se que a dita lei também se aplica a companheiros.

Já a equidade é algo bem mais abstrato,que inclusive, vem de raiz filosófica e significa trazer ao caso concreto a justiça, a razão, a proporcionalidade, etc. Entretanto, pelo fato de ser algo muito amplo e abstrato, é excepcional e só é utilizada nos casos que a lei autoriza. Exemplo: Art. 1.109, do CPC, procedimentos de jurisdição voluntária – Nos procedimentos de jurisdição voluntária o juiz pode decidir por equidade. Não está preso à legalidade estrita."