f(x) = x2-2x+3 f(x) = -x2+4x Encontre o ponto máximo da função f(x)= -4x2+4x+5. Escolha uma: a. P(1/2,6) b. P(1/2,2) c. P(6,1/2) d. P(0,1/2)

Nessa questão, devemos aplicar nossos conhecimentos sobre Álgebra, mais precisamente, sobre funções quadráticas (ou do segundo grau). Devemos lembrar que a estrutura de uma função do segundo grau é $y=a∗x^2+b∗x+c$, onde $a$, $b$ e $c$ são coeficientes que multiplicam a variável $x$, e $y$ é a imagem da função, isto é, o quanto a função vale para determinado $x$.

A abscissa do vértice de uma função de segundo grau, isto é, o valor de $x$ no vértice (ponto de máximo ou de mínimo) é dado por $x_V=−\dfrac{b}{2∗a}$.

Por fim, lembremos que a imagem do vértice de uma função de segundo grau, isto é, o valor de $y$ no vértice (máximo ou mínimo) é dado por $y_V=−\dfrac{\Delta}{4*a}$, onde $\Delta$(delta) é calculado pela fórmula de Baskhara e vale $\Delta=b^2−4*a*c$.

No caso, temos

$f(x)= -4x^2+4x+5$

$y = a*x^2 + b*x + c$

$y=f(x)$; $a=−4$; $b=4$; $c=5$.

Assim, a abscissa do vértice será:

$x_V=−\dfrac{b}{2∗a} = -\dfrac{4}{2*(-4)} = 0,5$;

Delta será:

$\Delta=b^2−4*a*c = (4)^4-4*(-4)*5 = 64$

E  a imagem do vértice será:

$y_V=−\dfrac{\Delta}{4*a}=−\dfrac{96}{4*(-4)} = 6$

Logo, o vértice será

$P(x_V, y_V) = (0,5;6) = (1/2;6)$.

Portanto, o ponto máximo da função é P(1/2;6), alternativa a).