calcular

a) O primeiro passo é calcular a derivada da função f(x) = 2x² - 400x +100.000 que é: f'(x)=4x-400. Fazendo-se a derivda = 0, para achar o ponto mínimo da curva, temos que 4x-400 = 0 --> 4x = 400 --> x= 100. Dessa forma, o custo de produção será mínimo quando forem produzidas 100 unidades de produto.

b) Para sabermos o valor do custo mínimo, uma vez que sabemos que o custo mínimo é atingido quando se produzem x=100 unidades de produto, basta substituir na função custo "f(x)=2x² -400x+100.000" x por 100, assim fica: f(100)=2*100² - 400*100+100.000 --> f(100)=20.000-40.000+100.000 = 80.000

c) fazer o gráfico é fácil, basta você pegar valores de x, substituir na fórmula e achar os valores de f(x), sabemos que o ponto mínimo deve ser x = 100 e f(x) = 80.000, conforme calculado na letra b).

Espero ter ajudado, abraços

A função quadrática \(f(x)=2x^2-400x+100.000\) está no formato \(f(x)=ax^2+bx+c\), com \(a=2\), \(b=-400\) e \(c=100.000\). Como \(a>0\), \(f(x)\) é uma parábola voltada para _cima_. Portanto, possui um _ponto mínimo_.

Considerando uma função quadrática, o valor de \(x\) correspondente ao custo mínimo é encontrado pela seguinte equação:

\[x={-b \over 2a}\]

Portanto, o valor de \(x\) é:

\[\begin{align} x&={-b \over 2a} \\ &={-(-400) \over 2\cdot 2} \\ &={400 \over 4} \\ &=100 \end{align}\]

Concluindo, para custo mínimo, o nível de produção deve ser igual a \(\boxed{x=100}\).

b)

Sendo \(x=100\) o número de unidades que minimiza o custo, o custo mínimo correspondente é:

\[\begin{align} f(100)&=2x^2-400x+100.000 \\ &=2\cdot 100^2-400\cdot 100+100.000 \\ &=2\cdot 10.000-40.000+100.000 \\ &=20.000-40.000+100.000 \\ &=80.000 \end{align}\]

Concluindo, o valor do custo mínimo é \(\boxed{f(100)=80.000}\).

c)

O gráfico do custo em função da produção está apresentado a seguir:

1561492938038