f (x)=1+sen (x/2) Determine o maior intervalo possível , contendo 17Pi/3 , tal que f seja inversivel.

Olá Wellington,

Para a função ser inversível em um certo intervalo, ela necessita ser bijetora no mesmo. De fato cada valor de x necessita estar associado a exatamente um valor de y, isso acontece naquele intervalo de Pi/2 até 3Pi/4 (imagine o circulo trigonométrico cortado ao meio verticalmente). Vejamos onde se encontra 17Pi/3

1 + sen(17Pi/3.2) = 1 + sen(17Pi/6)

Veja bem, sen(17Pi/6) tem o mesmo valor de sen(5Pi/6) (temos 1 volta completa), que se encontra no segundo quadrante. O maior intervalo onde esse valor é inversível seria do começo desse segundo quadrante até o fim do terceiro.

Começo = 2Pi (da volta completa) + Pi/2 = 5Pi/2

Fim = 2Pi (da volta completa) +  3Pi/2 = 7Pi/2

Mas eles correspondem à x/2, então os x's respectivos serão:

Começo: 5Pi

Fim:  7Pi

Resposta [5Pi, 7Pi]

(observação, iguale o denominador do começo, fim e de 17Pi/3, você verá: 15Pi, 21Pi e 17Pi. De fato 17Pi está entre 15Pi e 21Pi, o começo ao fim desse intervalo. Ele é o maior possível pois para chegar nesses pontos todos os valores entre 1 e -1 foram percorridos, e se percorremos mais iremos pegar algum mesmo valor mais de uma vez)