Como, exatamente, verificar de um conjunto é um espaço ou subspaço vetorial?

Bom dia! 

Não é bem isso que você está pensando... na matemática quando você quer mostrar que um conjunto é uma determinada 'coisa', você precisa demonstrar que as condiçoes que define essa 'coisa' funcionam para qualquer objeto do seu conjunto. Já para mostrar que não é, basta exibir um objeto do seu conjunto em que as condiçoes da definição falha, o que chamamos de contra-exemplo.

Bom, vamos a sua dúvida!

Para verificar se um conjunto W, não vazio, com as operações de soma e multiplicação por escalar (lembrando que essas operações não precisam necessariamente ser as usuais) é um espaço vetorial, você precisa provar as oito propriedades da soma e multiplicação por escalar. Se alguma delas falhar, significa que o seu conjunto W com essas duas operações não é um espaço vetorial, mas para justificar que não é você tem que dar um contra-exemplo, ou seja, mostrar um exemplo onde uma das propriedades falha.

Agora, vejamos a definição de subespaço vetorial:

Um subconjunto não vazio V de W é dito subespaço vetorial de W (espaço vetorial) se ele próprio é um espaço vetorial considerando as operações restritas a ele.

Ou seja, todo subespaço vetorial é também um espaço vetorial, portanto para mostrar que um subconjunto não vazio qualquer V de W é um subespaço, teríamos que mostrar que valem para o subconjunto V as oito propriedades. Só que isso daria muito trabalho. Então, temos um teorema que facilita a nossa vida:

Teorema: Um subconjunto não vazio V⊆W, V≠Ø é um subespaço vetorial se e somente se:

i) 0 ∈ V

ii) ∀u,v ∈ V ⇒ u+v ∈ V

iii) ∀u ∈ V e ∀a ∈ R ⇒ a.u ∈ V

Assim, para mostrar que um subconjunto nao vazio V de W é um subespaço vetorial basta mostrar essas três condições do teorema. Se alguma delas falhar, significa que o seu subconjunto V de W com essas duas operações não é um subespaço vetorial, mas para justificar que não é você tem que mostrar um exemplo onde uma das condições falha.

Exemplos:

1- H = {(x, y, 0), x, y ∈ R} ⊂ R³ é subespaço de R³.

De fato,

i) (0, 0, 0) ∈ H.

ii) Sejam (x1, y1, 0),(x2, y2, 0) ∈ H. Então:
(x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) ∈ H.

iii) Sejam (x, y, 0) ∈ H e α ∈ R. Então:
α(x, y, 0) = (αx, αy, 0) ∈ H.

2 - H = {(x, y, 1), x, y ∈ R} ⊂ R³ não é subespaço de R³.

Sejam (1, 1, 1), (2, 2, 1) ∈ H. Então:

(1, 1, 1) + (2, 2, 1) = (1 + 2, 1 + 2, 1 + 1) = (3,3,2) ∉ H.

Logo, a condição ii) do teorema não é válida e, portanto, H não é subespaço de R³.

Espero ter ajudado! =)

Muito Obrigado Isadora. Perdão pela demora, estava sem net esses dias. kk
Mas me foi muito esclarecedora sua explicação. Peguei Algebra Linear para este semestre e o professor passou uma lista que me coçou a cuca. Obrigado mesmo pela sua atenção e prestatividade. Agora as coisas já estão mais claras aqui. 
Abraços, qualquer coisa estamos aqui.

Para responder essa pergunta devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Álgebra Linear.

Para verificar se W é um subespaço de V devemos tomar vetores genéricos de V e verificar se a soma e a multiplicação de tais vetores estão contidos em W.