campo eletrico

Nesse exercício vamos estudar o campo elétrico devido a corpos rígidos.

Para resolver esse exercício vamos primeiro deduzir a expressão para o campo elétrico devido a um anel de raio interno $r$ e espessura $dr\ll r$ com densidade superficial $\sigma$ constante. Por simetria o campo elétrico será vertical:

$$d\vec E_{dr}=\hat z{kQ\over d^2}\cos\theta=\hat z{k\sigma rd\varphi dr\over z^2+r^2}\cdot{z\over\sqrt{ z^2+r^2}}$$

Integrando para toda a volta do anel, temos:

$$\vec E_{dr}=\hat z\int_0^{2\pi}{k\sigma rd\varphi dr\over z^2+r^2}\cdot{z\over\sqrt{ z^2+r^2}}=\vec z{k\sigma r dr\over (z^2+r^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}d\varphi =2\pi k\sigma\vec z\cdot {r dr\over (z^2+r^2)^{3/2}}$$

Vamos agora usar esse resultado parcial para encontrar o campo elétrico devido a um anel de raio interno $R_i$ e raio externo $R_e$, transformando $dr$ em um diferencial:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\vec z\int_{R_i}^{R_e}{r dr\over (z^2+r^2)^{3/2}}$$

Fazendo $r = z\tan\theta\Rightarrow dr=z\sec^2\theta d\theta$, temos:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\vec z\int_{\theta_i}^{\theta_e}{ z\tan\theta z\sec^2\theta d\theta\over (z^2+ z^2\tan^2\theta)^{3/2}} = 2\pi k\sigma\vec z\int_{\theta_i}^{\theta_e}{ z^2\tan\theta\sec^2\theta d\theta\over z^3(1+\tan^2\theta)^{3/2}}$$

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\Rightarrow 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$$

Substituindo na integral, temos:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\hat z\int_{\theta_i}^{\theta_e}{\tan\theta\sec^2\theta d\theta\over \sec^3\theta} = 2\pi k\sigma\hat z\int_{\theta_i}^{\theta_e}\sin\theta = 2\pi k\sigma\hat z(\cos\theta_i-\cos\theta_e)$$

Como $\theta=\arctan{r\over z}$, temos:

$$\tan^2\theta+1={1\over\cos^2\theta}\Rightarrow \cos\theta={z\over \sqrt{r^2+z^2}}$$

Substituindo na expressão do campo elétrico:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\hat z\left({1\over \sqrt{{R_i^2\over z^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R_e^2\over z^2}+1}}\right)$$

O que se deseja calcular é a seguinte razão:

$$x = {|\vec E_{anel}(R/2,R)|\over|\vec E_{anel}(0,R)|} = {\left|2\pi k\sigma\hat z\left({1\over \sqrt{{R^2\over 4z^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}\right)\right|\over\left|2\pi k\sigma\hat z\left({1\over \sqrt{0+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}\right)\right|}= {{1\over \sqrt{{R^2\over 4z^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}\over{1\over \sqrt{0+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}}$$

Lembrando que $z=2R$:

$$x= {{1\over \sqrt{{R^2\over 16R^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over 4R^2}+1}}\over{1\over \sqrt{0+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over 4R^2}+1}}}= {{4\over \sqrt{17}}-{2\over \sqrt{5}}\over1-{2\over \sqrt{5}}}$$

Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt5$:

$$x= {{4\sqrt5\over \sqrt{17}}-2\over\sqrt5-2}$$

Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt5+2$:

$$x= {20\over \sqrt{17}}-2\sqrt5+{8\sqrt5\over \sqrt{17}}-4$$

E finalmente multiplicando por $\sqrt{17}$:

$$\boxed{x= 20+8\sqrt5-2\sqrt{85}-4\sqrt{17}\approx 2,957}$$

Nesse exercício vamos estudar o campo elétrico devido a corpos rígidos.

Para resolver esse exercício vamos primeiro deduzir a expressão para o campo elétrico devido a um anel de raio interno $r$ e espessura $dr\ll r$ com densidade superficial $\sigma$ constante. Por simetria o campo elétrico será vertical:

$$d\vec E_{dr}=\hat z{kQ\over d^2}\cos\theta=\hat z{k\sigma rd\varphi dr\over z^2+r^2}\cdot{z\over\sqrt{ z^2+r^2}}$$

Integrando para toda a volta do anel, temos:

$$\vec E_{dr}=\hat z\int_0^{2\pi}{k\sigma rd\varphi dr\over z^2+r^2}\cdot{z\over\sqrt{ z^2+r^2}}=\vec z{k\sigma r dr\over (z^2+r^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}d\varphi =2\pi k\sigma\vec z\cdot {r dr\over (z^2+r^2)^{3/2}}$$

Vamos agora usar esse resultado parcial para encontrar o campo elétrico devido a um anel de raio interno $R_i$ e raio externo $R_e$, transformando $dr$ em um diferencial:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\vec z\int_{R_i}^{R_e}{r dr\over (z^2+r^2)^{3/2}}$$

Fazendo $r = z\tan\theta\Rightarrow dr=z\sec^2\theta d\theta$, temos:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\vec z\int_{\theta_i}^{\theta_e}{ z\tan\theta z\sec^2\theta d\theta\over (z^2+ z^2\tan^2\theta)^{3/2}} = 2\pi k\sigma\vec z\int_{\theta_i}^{\theta_e}{ z^2\tan\theta\sec^2\theta d\theta\over z^3(1+\tan^2\theta)^{3/2}}$$

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\Rightarrow 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$$

Substituindo na integral, temos:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\hat z\int_{\theta_i}^{\theta_e}{\tan\theta\sec^2\theta d\theta\over \sec^3\theta} = 2\pi k\sigma\hat z\int_{\theta_i}^{\theta_e}\sin\theta = 2\pi k\sigma\hat z(\cos\theta_i-\cos\theta_e)$$

Como $\theta=\arctan{r\over z}$, temos:

$$\tan^2\theta+1={1\over\cos^2\theta}\Rightarrow \cos\theta={z\over \sqrt{r^2+z^2}}$$

Substituindo na expressão do campo elétrico:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\hat z\left({1\over \sqrt{{R_i^2\over z^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R_e^2\over z^2}+1}}\right)$$

O que se deseja calcular é a seguinte razão:

$$x = {|\vec E_{anel}(R/2,R)|\over|\vec E_{anel}(0,R)|} = {\left|2\pi k\sigma\hat z\left({1\over \sqrt{{R^2\over 4z^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}\right)\right|\over\left|2\pi k\sigma\hat z\left({1\over \sqrt{0+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}\right)\right|}= {{1\over \sqrt{{R^2\over 4z^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}\over{1\over \sqrt{0+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}}$$

Lembrando que $z=2R$:

$$x= {{1\over \sqrt{{R^2\over 16R^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over 4R^2}+1}}\over{1\over \sqrt{0+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over 4R^2}+1}}}= {{4\over \sqrt{17}}-{2\over \sqrt{5}}\over1-{2\over \sqrt{5}}}$$

Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt5$:

$$x= {{4\sqrt5\over \sqrt{17}}-2\over\sqrt5-2}$$

Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt5+2$:

$$x= {20\over \sqrt{17}}-2\sqrt5+{8\sqrt5\over \sqrt{17}}-4$$

E finalmente multiplicando por $\sqrt{17}$:

$$\boxed{x= 20+8\sqrt5-2\sqrt{85}-4\sqrt{17}\approx 2,957}$$

Nesse exercício vamos estudar o campo elétrico devido a corpos rígidos.

Para resolver esse exercício vamos primeiro deduzir a expressão para o campo elétrico devido a um anel de raio interno $r$ e espessura $dr\ll r$ com densidade superficial $\sigma$ constante. Por simetria o campo elétrico será vertical:

$$d\vec E_{dr}=\hat z{kQ\over d^2}\cos\theta=\hat z{k\sigma rd\varphi dr\over z^2+r^2}\cdot{z\over\sqrt{ z^2+r^2}}$$

Integrando para toda a volta do anel, temos:

$$\vec E_{dr}=\hat z\int_0^{2\pi}{k\sigma rd\varphi dr\over z^2+r^2}\cdot{z\over\sqrt{ z^2+r^2}}=\vec z{k\sigma r dr\over (z^2+r^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}d\varphi =2\pi k\sigma\vec z\cdot {r dr\over (z^2+r^2)^{3/2}}$$

Vamos agora usar esse resultado parcial para encontrar o campo elétrico devido a um anel de raio interno $R_i$ e raio externo $R_e$, transformando $dr$ em um diferencial:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\vec z\int_{R_i}^{R_e}{r dr\over (z^2+r^2)^{3/2}}$$

Fazendo $r = z\tan\theta\Rightarrow dr=z\sec^2\theta d\theta$, temos:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\vec z\int_{\theta_i}^{\theta_e}{ z\tan\theta z\sec^2\theta d\theta\over (z^2+ z^2\tan^2\theta)^{3/2}} = 2\pi k\sigma\vec z\int_{\theta_i}^{\theta_e}{ z^2\tan\theta\sec^2\theta d\theta\over z^3(1+\tan^2\theta)^{3/2}}$$

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\Rightarrow 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$$

Substituindo na integral, temos:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\hat z\int_{\theta_i}^{\theta_e}{\tan\theta\sec^2\theta d\theta\over \sec^3\theta} = 2\pi k\sigma\hat z\int_{\theta_i}^{\theta_e}\sin\theta = 2\pi k\sigma\hat z(\cos\theta_i-\cos\theta_e)$$

Como $\theta=\arctan{r\over z}$, temos:

$$\tan^2\theta+1={1\over\cos^2\theta}\Rightarrow \cos\theta={z\over \sqrt{r^2+z^2}}$$

Substituindo na expressão do campo elétrico:

$$\vec E_{anel}(R_i,R_e) = 2\pi k\sigma\hat z\left({1\over \sqrt{{R_i^2\over z^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R_e^2\over z^2}+1}}\right)$$

O que se deseja calcular é a seguinte razão:

$$x = {|\vec E_{anel}(R/2,R)|\over|\vec E_{anel}(0,R)|} = {\left|2\pi k\sigma\hat z\left({1\over \sqrt{{R^2\over 4z^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}\right)\right|\over\left|2\pi k\sigma\hat z\left({1\over \sqrt{0+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}\right)\right|}= {{1\over \sqrt{{R^2\over 4z^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}\over{1\over \sqrt{0+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over z^2}+1}}}$$

Lembrando que $z=2R$:

$$x= {{1\over \sqrt{{R^2\over 16R^2}+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over 4R^2}+1}}\over{1\over \sqrt{0+1}}-{1\over \sqrt{{R^2\over 4R^2}+1}}}= {{4\over \sqrt{17}}-{2\over \sqrt{5}}\over1-{2\over \sqrt{5}}}$$

Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt5$:

$$x= {{4\sqrt5\over \sqrt{17}}-2\over\sqrt5-2}$$

Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt5+2$:

$$x= {20\over \sqrt{17}}-2\sqrt5+{8\sqrt5\over \sqrt{17}}-4$$

E finalmente multiplicando por $\sqrt{17}$:

$$\boxed{x= 20+8\sqrt5-2\sqrt{85}-4\sqrt{17}\approx 2,957}$$