Determine se o triangulo com os vértices P, Q e R e escaleno, retangulo, isosceles ou equilatero

rgaerg adwhih uhiuwhvfsavd  iowhufhsodhwhfo ih81438jhfw ijh1j0 ifoiwef d4 641654132 

Para determinarmos as características dos triângulos, vamos usar os comprimentos dos lados.

Sendo $c$ o maior lado e $a$ e $b$ os dois menores, temos as seguintes possibilidades quanto aos ângulos:

• $a^2+b^2>c^2$: acutângulo
• $a^2+b^2=c^2$: retângulo
• $a^2+b^2<c^2$: obtusângulo

Quanto aos lados, temos as seguintes possibilidades:

• $a=b=c$: equilátero
• ​​​​​​​$a=b\neq c$: isósceles
• $a\neq b\neq c$: escaleno

Para o item (a):

$$PQ=\sqrt{(7-3)^2+(0+2)^2+(1+3)^2}=\sqrt{16+4+16}=6$$

$$QR=\sqrt{(7-1)^2+(0-2)^2+(1-1)^2}=\sqrt{36+4+0}=2\sqrt{10}$$

$$RP=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

$$PQ^2+RP^2=36+36=72>40=QR^2$$

O que nos leva a um triângulo acutângulo e isósceles.

Para o item (b):

$$PQ=\sqrt{(4-2)^2+(1+1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+4+1}=3$$

$$QR=\sqrt{(4-4)^2+(1+5)^2+(1-4)^2}=\sqrt{0+36+9}=3\sqrt{5}$$

$$RP=\sqrt{(2-4)^2+(-1+5)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

$$PQ^2+RP^2=9+36=45=QR^2$$

O que nos leva a um triângulo retângulo e escaleno.

Para determinarmos as características dos triângulos, vamos usar os comprimentos dos lados.

Sendo $c$ o maior lado e $a$ e $b$ os dois menores, temos as seguintes possibilidades quanto aos ângulos:

• $a^2+b^2>c^2$: acutângulo

• $a^2+b^2=c^2$: retângulo

• $a^2+b^2<c^2$: obtusângulo

Quanto aos lados, temos as seguintes possibilidades:

• $a=b=c$: equilátero

• $a=b\neq c$: isósceles

• $a\neq b\neq c$: escaleno

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• Para o item (a):

• $$PQ=\sqrt{(7-3)^2+(0+2)^2+(1+3)^2}=\sqrt{16+4+16}=6$$

• $$QR=\sqrt{(7-1)^2+(0-2)^2+(1-1)^2}=\sqrt{36+4+0}=2\sqrt{10}$$

• $$RP=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

• $$PQ^2+RP^2=36+36=72>40=QR^2$$

• O que nos leva a um triângulo acutângulo e isósceles.

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• Para o item (b):

• $$PQ=\sqrt{(4-2)^2+(1+1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+4+1}=3$$

• $$QR=\sqrt{(4-4)^2+(1+5)^2+(1-4)^2}=\sqrt{0+36+9}=3\sqrt{5}$$

• $$RP=\sqrt{(2-4)^2+(-1+5)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

• $$PQ^2+RP^2=9+36=45=QR^2$$

• O que nos leva a um triângulo retângulo e escaleno.