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Determine se o triangulo com os vértices P, Q e R e escaleno, retangulo, isosceles ou equilatero

(a) P = (3,−2,−3), Q = (7,0,1), R = (1,2,1)

(b) P = (2,−1,0), Q = (4,1,1), R = (4,−5,4)


4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Para determinarmos as características dos triângulos, vamos usar os comprimentos dos lados.


Sendo $c$ o maior lado e $a$ e $b$ os dois menores, temos as seguintes possibilidades quanto aos ângulos:

  • $a^2+b^2>c^2$: acutângulo

  • $a^2+b^2=c^2$: retângulo

  • $a^2+b^2<c^2$: obtusângulo


Quanto aos lados, temos as seguintes possibilidades:

  • $a=b=c$: equilátero

  • $a=b\neq c$: isósceles

  • $a\neq b\neq c$: escaleno


  • Para o item (a):

  • $$PQ=\sqrt{(7-3)^2+(0+2)^2+(1+3)^2}=\sqrt{16+4+16}=6$$

  • $$QR=\sqrt{(7-1)^2+(0-2)^2+(1-1)^2}=\sqrt{36+4+0}=2\sqrt{10}$$

  • $$RP=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

  • $$PQ^2+RP^2=36+36=72>40=QR^2$$

  • O que nos leva a um triângulo acutângulo e isósceles.


  • Para o item (b):

  • $$PQ=\sqrt{(4-2)^2+(1+1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+4+1}=3$$

  • $$QR=\sqrt{(4-4)^2+(1+5)^2+(1-4)^2}=\sqrt{0+36+9}=3\sqrt{5}$$

  • $$RP=\sqrt{(2-4)^2+(-1+5)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

  • $$PQ^2+RP^2=9+36=45=QR^2$$

  • O que nos leva a um triângulo retângulo e escaleno.

Para determinarmos as características dos triângulos, vamos usar os comprimentos dos lados.


Sendo $c$ o maior lado e $a$ e $b$ os dois menores, temos as seguintes possibilidades quanto aos ângulos:

  • $a^2+b^2>c^2$: acutângulo

  • $a^2+b^2=c^2$: retângulo

  • $a^2+b^2<c^2$: obtusângulo


Quanto aos lados, temos as seguintes possibilidades:

  • $a=b=c$: equilátero

  • $a=b\neq c$: isósceles

  • $a\neq b\neq c$: escaleno


  • Para o item (a):

  • $$PQ=\sqrt{(7-3)^2+(0+2)^2+(1+3)^2}=\sqrt{16+4+16}=6$$

  • $$QR=\sqrt{(7-1)^2+(0-2)^2+(1-1)^2}=\sqrt{36+4+0}=2\sqrt{10}$$

  • $$RP=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

  • $$PQ^2+RP^2=36+36=72>40=QR^2$$

  • O que nos leva a um triângulo acutângulo e isósceles.


  • Para o item (b):

  • $$PQ=\sqrt{(4-2)^2+(1+1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+4+1}=3$$

  • $$QR=\sqrt{(4-4)^2+(1+5)^2+(1-4)^2}=\sqrt{0+36+9}=3\sqrt{5}$$

  • $$RP=\sqrt{(2-4)^2+(-1+5)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

  • $$PQ^2+RP^2=9+36=45=QR^2$$

  • O que nos leva a um triângulo retângulo e escaleno.

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Gabriel Alves

Há mais de um mês

rgaerg adwhih uhiuwhvfsavd  iowhufhsodhwhfo ih81438jhfw ijh1j0 ifoiwef d4 641654132 

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Andre Smaira

Há mais de um mês

Para determinarmos as características dos triângulos, vamos usar os comprimentos dos lados.


Sendo $c$ o maior lado e $a$ e $b$ os dois menores, temos as seguintes possibilidades quanto aos ângulos:

  • $a^2+b^2>c^2$: acutângulo
  • $a^2+b^2=c^2$: retângulo
  • $a^2+b^2<c^2$: obtusângulo

Quanto aos lados, temos as seguintes possibilidades:

  • $a=b=c$: equilátero
  • ​​​​​​​$a=b\neq c$: isósceles
  • $a\neq b\neq c$: escaleno

Para o item (a):

$$PQ=\sqrt{(7-3)^2+(0+2)^2+(1+3)^2}=\sqrt{16+4+16}=6$$

$$QR=\sqrt{(7-1)^2+(0-2)^2+(1-1)^2}=\sqrt{36+4+0}=2\sqrt{10}$$

$$RP=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

$$PQ^2+RP^2=36+36=72>40=QR^2$$

O que nos leva a um triângulo acutângulo e isósceles.


Para o item (b):

$$PQ=\sqrt{(4-2)^2+(1+1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+4+1}=3$$

$$QR=\sqrt{(4-4)^2+(1+5)^2+(1-4)^2}=\sqrt{0+36+9}=3\sqrt{5}$$

$$RP=\sqrt{(2-4)^2+(-1+5)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

$$PQ^2+RP^2=9+36=45=QR^2$$

O que nos leva a um triângulo retângulo e escaleno.

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Andre Smaira

Há mais de um mês

Para determinarmos as características dos triângulos, vamos usar os comprimentos dos lados.


Sendo $c$ o maior lado e $a$ e $b$ os dois menores, temos as seguintes possibilidades quanto aos ângulos:

  • $a^2+b^2>c^2$: acutângulo

  • $a^2+b^2=c^2$: retângulo

  • $a^2+b^2<c^2$: obtusângulo


Quanto aos lados, temos as seguintes possibilidades:

  • $a=b=c$: equilátero

  • $a=b\neq c$: isósceles

  • $a\neq b\neq c$: escaleno


  • Para o item (a):

  • $$PQ=\sqrt{(7-3)^2+(0+2)^2+(1+3)^2}=\sqrt{16+4+16}=6$$

  • $$QR=\sqrt{(7-1)^2+(0-2)^2+(1-1)^2}=\sqrt{36+4+0}=2\sqrt{10}$$

  • $$RP=\sqrt{(3-1)^2+(-2-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

  • $$PQ^2+RP^2=36+36=72>40=QR^2$$

  • O que nos leva a um triângulo acutângulo e isósceles.


  • Para o item (b):

  • $$PQ=\sqrt{(4-2)^2+(1+1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+4+1}=3$$

  • $$QR=\sqrt{(4-4)^2+(1+5)^2+(1-4)^2}=\sqrt{0+36+9}=3\sqrt{5}$$

  • $$RP=\sqrt{(2-4)^2+(-1+5)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16+16}=6$$

  • $$PQ^2+RP^2=9+36=45=QR^2$$

  • O que nos leva a um triângulo retângulo e escaleno.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas